復球面、擴充復平面、復微分、解析

復球面和擴充復平面

引入坐標，得到復平面\(\mathbb{C}\),但如何處理無窮遠點？引入\(\infty\),以此來擴展\(\mathbb{C}\),對所有有限的復數\(a\in\mathbb{C},a+\infty=\infty+a=\infty,\) 對所有的\(b\in\mathbb{C},b\neq0, b\cdot\infty=\infty\cdot b=\infty,\frac{b}{0}=\infty,\frac{a}{\infty}=0.\) \(\mathbb{C}\)中所有點加上"\(\infty\)",組成擴充復平面，記作\(\mathbb{C}^{*}\), 即\(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}.\)
下面對擴充復平面做一個幾何模型，考察一個三維空間的單位球面\(S^2\),其方程為\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\)（三維空間的直角坐標為\(x_1,x_2,x_3\)）,在\(s^2\)上的每一點，除了(0,0,1)以外，我們可用一復數$$ z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3} $$
與之相對應，這個對應是一對一的，事實上$$ x_3=\frac{|z|^2-1}{|z|2+1},~~~ x_1=\frac{z+\bar{z}}{1+|z|^2},~~~ x_2=\frac{z-\bar{z}}{1+|z|^2}.$$
令無窮遠處對應點(0,0,1), 就完成了球面和擴充復平面的點的一一對應. 把球面\(S^2\)稱為Riemann 球面，顯然，\(x_3<0\)的半球面對應於單位圓盤\(|z|<1\), 而\(x_3>0\)的半球面對應於單位圓盤的外部\(|z|>1\).

復微分

如同普通微積分那樣，定義復數域上的復值函數\(w=f(z)\), 為了有確切定義，先限定\(f(z)\)是單值的. 用\(\varepsilon-\delta\)語言來定義函數極限，即$$ \lim\limits_{z\to a}f(z)=A,$$
同理實值函數的極限定義. 如果\(\lim\limits_{z\to a}f(z)=f(a)\),則稱\(f\)在\(a\)點連續.
如同普通微積分那樣，可以在復平面上定義開集、閉集、集合的連通性、緊致性，等等. 定義復平面中的曲線為區間\([\alpha,\beta]\)上的連續復值函數\(\gamma(t):=x(t)+iy(t)\),其中\(\alpha\leq t\leq\beta\), \(x(t),y(t)\)為\(t\)的連續實值函數. 如果\(\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)\),則稱\(\gamma(t)\)為閉曲線. 曲線的方向就是\(t\)增加的方向. 如果\(\gamma'(t)\)存在且連續，則稱\(\gamma(t)\)為光滑曲線，如果\(\gamma'(t)\)除去有限個點外是連續的, 在這有限個點處有左右導數, 則稱為分段光滑曲線. 分段光滑曲線是可求長的. 若\(\gamma(t)\)是單射,則稱為簡單曲線, 或Jordan曲線, 進而有簡單閉曲線或Jordan閉曲線.

定義1 復平面上的一個點集\(D\)稱為一個域, 如果

(1) \(D\)為開集.
(2) \(D\)為連通的, 即\(D\)中任意兩點均可用完全位於\(D\)中的曲線把它們連接起來.
下面的事實是直觀的，但證明起來卻很復雜，故述而不證.

定理2 Jordan定理 一條簡單閉曲線\(\gamma\)把復平面分成兩個域, 其中一個是有界的，稱為\(\gamma\)的內部，另一個是無界的，稱為外部. \(\gamma\)是這兩個域的共同邊界.

域\(D\)的邊界記為\(\partial D\). 域\(D\)被稱為是單連通的，如果\(D\)內任何簡單閉曲線的內部仍屬於\(D\),不是單連通的區域稱為多連通的. 由兩條Jordan閉曲線所圍成的域是二連通域, 由\(n\)條Jordan閉曲線所圍成的區域是\(n\)連通域，這些閉曲線可能退化成為一個點或一條Jordan曲線. 此外，如同實數域的情形那樣，可以證明Heine-Borel, Bolzano-weierstrass.
現在來討論復變函數的導數.

定義3 實可微. 設\(f\)是從開集\(\Omega\)到\(\mathbb{C}\)中的函數, \(a\in\Omega,\) 如果存在復常數\(A,B\)使得$$\lim\limits_{z\to 0}\frac{f(a+z)-f(a)-Ax-By}{z}=0,$$

則稱\(f\)在\(a\)處實可微.
極限式可寫作$$f(a+z)=f(a)+xA+yB+o(z)~~~(z=x+iy\to 0).$$
如果\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在\(a=a_1+ia_2\)處實可微, 可以定義\(f(z)\)在\(a\)點的微分為\(df(a)=du(a_1,a_2)+idv(a_1,a_2)\), 簡記為\(df=du+idv\). 進而有$$df(a)=\frac{\partial f}{\partial x}(a)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(a)dy.$$
引入微分算子$$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}), \frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}).$$
相應地，有$$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}d\bar{z}.$$

復可微、解析

定義1 若\(w=f(x),\)那么自然考察$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},$$這里, \(h\)為復數, 如果這個極限對於所有的\(h\to0\)都存在且相同, 則稱\(f(z)\)在\(z\)點復可微, 記作\(\frac{df}{dz}\)或者\(f'(z)\),稱為\(f(z)\)在點\(z\)處的微商或導數. 如果\(f(z)\)在定義域上每一點都可微, 則稱\(f(z)\)為其定義域上的解析函數(analytic function)或全純函數（holomorphic function）.

若\(f(z)=u(z)+iv(z)\)在點\(z_0=x_0+iy_0\)處可微, 則

\[\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)$$對於任意途徑的$z\to z_0$都存在相等, 則有Cauchy-Riemann 方程 $$ u_x=v_y,~~~ u_y=-v_x.\]

要知道, C-R方程為\(f\)在\(z\)點復可微的必要條件，但不充分.

定理2 設\(f(z)\)是定義在開集\(\Omega\)上的復變函數, \(a\in\Omega\), 如果\(f(z)\)在\(a\)點復可微, 則\(f(z)\)在\(a\)處實可微且\(\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}(a)=0, f'(a)=\frac{\partial f}{\partial z}(a).\)

定理3 函數\(f(z)=u+iv\)在域\(D\)內全純的充要條件是: \(u,v\)在\(D\)內有一階連續偏微商，且滿足C-R 方程.