3.5 矩陣的秩

數域\(K\)上的\(s \times n\)矩陣\(A\)

\[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix} \]

設\(\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\)為行向量組，\(\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\)為列向量組。
記\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\}\)為\(A\)的列秩，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\}\)為\(A\)的行秩。
\(<\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)為\(A\)的列空間，\(<\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)為\(A\)的行空間。
\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\} = \dim <\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\} = \dim <\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)
問題：\(A\)的行秩與列秩之間的關系。

定理 1：數域\(K\)上\(s \times n\)的階梯形矩陣\(J\)，設\(J\)的非零行的個數為\(r\)，則行秩 = 列秩 = \(r\)。且\(J\)主元所在的列構成\(J\)的列向量組的一個極大線性無關組。
證明：等時間充裕了再補充

定理 2：矩陣的初等行變換，不改變矩陣的行秩
證明：三種初等行變換分情況討論，易證

定理 3：矩陣的初等行變換，不改變矩陣的列向量組線性相關性。從而，不改變矩陣的列秩。
（同時，若\(B\)中的\(\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots ,\beta_{j_r}\)是列向量組的極大線性無關組，那么\(A\)中的\(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\dots ,\alpha_{j_r}\)也是\(A\)的列向量組的極大線性無關組）

定理 4：任一矩陣的行秩 = 列秩
證明：將\(A\)經初等行變換為階梯形矩陣\(J\)，從而\(A\)的行秩 = \(J\)的行秩 = \(J\)的列秩 = \(A\)的列秩

定義 1：矩陣\(A\)的行秩與列秩稱為矩陣\(A\)的秩
推論 1：設\(A\)經初等行變換為\(J\)，則\(rank(A)\) = \(J\)的非零行的個數，又\(J\)的主元所在列構成\(A\)的一個極大線性無關組。
推論 2：\(A\)的轉置\(A'\)，故\(rank(A) = rank(A')\)
推論 3：若\(A\)經初等行變換得到\(B\)，則\(rank(A) = rank(B)\)。即矩陣的初等行變換，不改變行秩。

定理 5：\(s \times n\)的非零矩陣\(A\)的秩等於\(A\)的不為\(0\)子式的最高階數。