今天要講的是關於矩陣秩的重要結論。關於矩陣的秩，講三點，前兩點是比較重要的，專門提出來強調一下，第三點是書上沒有的一個重要的結論：
1、
，也就是一個矩陣與另一個矩陣相乘后，新矩陣的秩一定不大於原矩陣。怎么證明呢，結合線性結合線性方程組的有解性來進行證明的，AB=C，已經說明了AX=C是有解的，而線性方程組的有解性與矩陣的秩的關系說明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大於等於C的秩，再將此矩陣兩邊轉置，再根據線性方程組的解與矩陣的秩間關系同理可得A的秩大於等於C的秩.當我們學習了與線性表示有關的系統性理論后對這個定理會有更直觀的理解。
2、矩陣左乘列滿秩矩陣后新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣，此結論希望引起大家重視，此結論就是同濟大學第五版70頁的例9，大家可以參照此過程。
3、給出一個關於矩陣的秩的一般性的結論，
大家記住了的話對做題有很大的幫助，證明過程復雜，不要求掌握。
今天看一道考研的選擇題：
上述是脫離了方程組單獨講的矩陣的秩的結論，而當秩與方程組結合時也有重要結論，對於方程組Ax=b
1、如果A是行滿秩的矩陣，那么方程組要么有唯一解，要么有無窮多解。
如果A是行滿秩的矩陣，因為矩陣的列秩等於矩陣的行秩，所以矩陣的列秩等於矩陣的行數，所以矩陣的列向量的線性組合一定能得到所有該維數的列向量。怎么理解呢？比如A是2x4的矩陣，A的秩為2，那么組成A的四個列向量的秩為2，這四個列向量都是2維的，那這四個列向量是不是能線性組合成任意的二維列向量，所以一定有解。
A的形式要么是矮且胖要么是方陣（矩陣的列不可能小於矩陣的行數），如果矩陣A矮且胖的話，那么對線性方程組的約束的個數（矩陣的行數）小於未知數的個數，那就是無窮多解。矩陣A是方陣，根據克拉默法則我們也能得出是唯一解。
上面是我們根據我們對線性代數的直觀理解做出的推導，那么這個結論怎么證明呢？
2、如果A是列滿秩的話，那么方程組要么有唯一解，要么無解。
兩個結論看起來類似，但直觀理解的角度不太一樣。A要么是方陣，要么是瘦高型，A是方陣時根據克拉默法則也可知有唯一解，A是瘦高型的話，A的線性組合如果能構成b就是唯一解，不能構成b就無解了。（因為A中各列線性無關，最后x不可能有無窮多解）
還有一個角度，b是A中各列線性組合，b的這一列加到A后如果矩陣的秩加了1，說明無解，如果矩陣的秩不變，說明有唯一解。