這是上次一個小文獻筆記(https://www.cnblogs.com/luyi07/p/15442971.html)里一個定理的實踐。
1. 實數反對稱矩陣 \(M\)
所有矩陣元為實數，並且有反對稱性 \(M^\top = - M\)。
2. 反對稱陣的正則形式
如果反對稱矩陣 \(M\) 是塊對角的，且每個對角塊都是 2x2 的矩陣 \([\begin{smallmatrix} 0 & -\mu \\ \mu & 0 \end{smallmatrix}]\)，則稱這種形式為正則形式。
3. 二度簡並實數反對稱矩陣正則化
3.1 理論來源
文獻筆記(https://www.cnblogs.com/luyi07/p/15442971.html)中有記錄這個定理：任意反對稱復數矩陣 \(M\) 都可以變換為正則形式 \(M = U F U^\top\)，其中 \(U\) 是人為構造的一個幺正矩陣，\(F\) 是正則矩陣。
實數反對稱矩陣是復數反對稱矩陣的特例，這里我使用文獻中證明過程的思想，記下二度簡並實數反對稱矩陣正則化計算過程、代碼、效果。
3.2 計算公式
首先，拿着實數反對稱陣 \(M\)，構造 \(H = M^\top M\)，容易證明 \(H\) 是厄米半正定的，所以可以通過實數正交相似變換，對角化為實數對角陣 \(H_d\)：
另外構造矩陣 \(M_1 = V M V^\top\)，則有
因為 \(M, M^\top\) 可交換，所以有 \(M_1 H_d = H_d M_1\)，而 \(H_d\) 是對角陣，所以有
所以當 \(d_i \neq d_j\) 時，有 \((M_1)_{ij} = 0\)，\(M_1\) 是分塊矩陣。
\(M\) 為二度簡並 即 \(H_d\) 的本征值為一些２重簡並的值，那就意味着 \(M_1\) 的對角塊都是 2x2，而 \(M_1\) 按定義是反對稱陣，這就說明了 \(M_1\) 是正則形式。
二度簡並這個假定並不特別過分，與之相對的是 3 度或者更高度的簡並，想必是非常少見的。而二度簡並是這個形式自帶的特征，如果沒有更高度的簡並，就一定有二度簡並。
3.3 c++代碼
下面這個函數對於給定的２度簡並的實數反對稱矩陣 \(M\)，進行正則化，得到 \(M1\)，相似變換信息儲存在 \(V\) 中。
// RealSkewCanonical: construct a orthogonal similar transformation, turn a given real skew matrix into canonical form
// input: n, M; output: V, M1
// H = M^\top M, H V^\top = V^\top \Lambda
// M1 = V M V^\top is a canonical matrix
void RealSkewCanonical( int n, double * M, double * V, double * M1 ){
double * H = new double [ n*n ];
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasTrans, CblasNoTrans, n, n, n, 1, M, n, M, n, 0, H, n ); // H = M^\dagger M
double *e = new double [n]; LapackDsyev( H, V, e, n ); // diagonalize H, get V
double * C = new double [ n*n ];
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, n, n, n, 1, V, n, M, n, 0, C, n ); //C = VM
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasTrans, n, n, n, 1, C, n, V, n, 0, M1, n ); // M1 = CV^\top = VMV^\top
delete [] C; delete [] e; delete [] H;
}
3.4 運行結果
然后寫了個主函數，進行測試，干脆一起貼在下面吧
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cmath>
#include"mkl.h"
#include<complex>
#include<fstream>
#include"dsyev.h"
void printmtx( int n, double * A ){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++)cout<< A[i*n+j]<<", ";
cout<<endl;
}
}
void readmtx( int n, double * A, string file ){
ifstream fin(file);
for(int i=0;i<n*n;i++) fin>>A[i];
fin.close();
}
void randmtx( int n, double * A ){
for(int i=0;i<n*n;i++) A[i] = ((double)rand())/RAND_MAX;
}
// RealSkewCanonical: construct a orthogonal similar transformation, turn a given real skew matrix into canonical form
// input: n, M; output: V, M1
// H = M^\top M, H V^\top = V^\top \Lambda
// M1 = V M V^\top is a canonical matrix
void RealSkewCanonical( int n, double * M, double * V, double * M1 ){
double * H = new double [ n*n ];
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasTrans, CblasNoTrans, n, n, n, 1, M, n, M, n, 0, H, n ); // H = M^\dagger M
double *e = new double [n]; LapackDsyev( H, V, e, n ); // diagonalize H, get V
double * C = new double [ n*n ];
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, n, n, n, 1, V, n, M, n, 0, C, n ); // C = VM
cblas_dgemm( CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasTrans, n, n, n, 1, C, n, V, n, 0, M1, n ); // M1 = CV^\top = VMV^\top
delete [] C; delete [] e; delete [] H;
}
int main(){
int n = 4;
double * M = new double [ n*n ];
readmtx( n, M, "M.txt" );//M is skew-symmetric
double * V = new double [ n*n ];
double * M1 = new double [ n*n ];
RealSkewCanonical( n, M, V, M1 );
cout<<"M1:"<<endl; printmtx( n, M1 );
delete [] M; delete [] V; delete [] M1;
return 0;
}
再自己編個文件 M.txt：
0 1 2 5
-1 0 -9 10
-2 9 0 7
-5 -10 -7 0
運行得到結果：
M1:
5.55112e-17, 3.69536, 1.72085e-15, -2.10942e-15,
-3.69536, -5.55112e-17, 2.33147e-15, 6.66134e-16,
0, -2.44249e-15, 8.88178e-16, -15.6954,
3.55271e-15, -2.22045e-16, 15.6954, -8.88178e-16,
可以看到，變成了正則形式。