- 寫在前面：因為能力和記憶有限，為方便以后查閱，特寫看上去 “不太正經” 的隨筆。隨筆有 “三” 隨：隨便寫寫；隨時看看；隨意理解。
1.先從矩陣(Matrix)談起：
什么是矩陣？這里直接上一張二維矩陣的圖。
所謂矩陣，無非就是像矩形那樣方陣排列。
橫向走的我們定義為列(column)，圖示有兩列，分別以2、3開頭。
縱向走的我們定義為行(raw)，圖示有兩行，分別以2、4開頭。
這里我們不難發現列出的矩陣和二維數組這種數據結構無異，因此可以對應表示，記 A 為這個矩陣，Aij表示第 i 行，第 j 列（圖示A12表示第1行第2列的元素，即為3）。
當 i = j 時的矩陣被稱為方陣，這是今天我們所談的關系矩陣及關系性質應滿足的第一個條件。
我們還可以引入方陣二維數組表示的C++通用定義：
int **a;//a即為矩陣名 int n; cin>>n;//n表示矩陣的維度，供我們輸入賦值
a = new int*[n+1];//先給a開辟行方向上的空間,從a[0]至a[n],實則從a[1]開始使用
for (int i =1; i<=n; i++) a[i]=new int[n+1];//每行開辟列空間 //以下嵌套for循環給矩陣賦予初始值0 for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) a[i][j] = 0;
當矩陣上的元素僅用0或1來表示時，我們把它稱為布爾矩陣，這是今天討論的關系矩陣及關系性質應滿足的第二個條件。
注： 換句話說，以下的討論均基於布爾方陣這個前提，並不是所有關系矩陣都需要滿足該前提，這點很重要。
2.關於關系矩陣(為方便理解，會引入部分關於圖論的知識，但都基於表層)
幾個關系矩陣的實例：
關系矩陣中的0代表不存在關系，1表示存在關系。關系矩陣是一個關系的一種表現形式。
矩陣的維度n表示可以存在關系的元素個數，例如圖中a，b皆為 4✖4 的矩陣，維度為4，故可以存在4種元素(就是下面關系圖中的圓圈，我們稱之為結點)，使得每2個元素間的關系可以用矩陣表示出來。元素編號記為1~n，圖示即為1，2，3，4，相同行相同列代表相同元素編號。
上面沒看懂也不要緊，為了更直觀地觀察我們采用關系圖進行講解：
對於矩陣A，若Aij=1，即表示存在 i 到 j 的關系，關系圖中可以理解為存在 i 到 j 的道路，在圖上以有向邊的形式呈現。
例如關系矩陣a中，a11，a23值為1，在關系圖a中存在帶箭頭的邊，從編號為1的結點出發指向1；從編號為2的結點出發指向3，以此下去，2到2，3到2，3到3，4到4。
再看關系圖b我們進行反推，1到2，2到3，3到4，4到1；說明b12= b23= b34= b41=1，對照關系矩陣b，符合。
3.關系的性質(依然可結合上面的關系矩陣和關系圖進行理解)
1）自反性(reflexive)
關系矩陣主對角線上所有元素值都為1，可見關系矩陣a；
關系圖上每個結點存在自環，即每個結點都存在從自身出發指向自身的有向邊，可見關系圖a。
因此，關系a具有自反性。
2）非自反性(irreflexive)
關系矩陣主對角線上所有元素值為0，可見關系矩陣b；
關系圖上每個結點都沒有自環，可見關系圖b。
因此，關系b具有非自反性。
3）對稱性(symmetric)
關系矩陣沿主對角線對稱，對角線上元素沒有要求，可見關系矩陣a；
關系圖上的邊只存在自環以及雙向箭頭(即若存在2到3的關系，必然存在3到2的關系)兩種，可見關系圖a。
因此，關系a具有對稱性。
4）非對稱性(asymmetric)
關系矩陣沿主對角線對稱的任意兩個元素，要么全0，要么一個0一個1，不存在全1的情況，對角線上元素必須全為0，可見關系矩陣b；
關系圖兩個頂點間只存在一條邊，或者不存在邊，每個元素都無自環，可見關系圖b。
因此，關系b具有非對稱性。
5）反對稱性(antisymmetric)
關系矩陣沿主對角線對稱的任意兩個元素，要么全0，要么一個0一個1，不存在全1的情況，對角線上元素沒有規定，可見關系矩陣b；
關系圖兩個頂點間只存在一條邊，或者不存在邊，每個元素允許存在自環但不強求必須存在，可見關系圖b。
因此，關系b具有反對稱性。
6）傳遞性(transitive)
關系矩陣上，若Aij=1，則矩陣A第 i 行與第 j 列元素兩兩對應之積的總和大於等於1，即兩兩對應的元素中存在1✖1這種情況。以關系矩陣a為例，a23=1，取該矩陣第2行(0110)與第3列(0110)元素對 應相乘求和，0✖0+1✖1+1✖1+0✖0=2 ≥ 1，驗證a上每一個值為1的元素，所有均滿足則具有傳遞性。
關系圖中若存在a到b的有向邊及b到c的有向邊，則必定存在a到c的有向邊，驗證所有邊滿足這個性質的才具有傳遞性。
照上述思路可以驗證關系a具有傳遞性。
- 小插曲：
線性代數中的矩陣只有對稱與反對稱兩種，分別對應aij= aji，aij= - aji兩種條件（這里 i，j 任取，可相等，故反對稱矩陣主對角線全為0），這里注意不要混淆。