矩阵性质总结

矩阵总结

普通矩阵

普通方阵：

性质：

1. 对角线上 的 元素 之和 等于 矩阵的迹 ，等于 特征值 的和
2. 特征值 的 乘积 等于 矩阵的行列式

特殊矩阵

对称矩阵

满足

\[A^T = A \]

的矩阵

性质：

1. 该矩阵一定是方阵
2. 主对角线的元素是任意的，但其他元素在主对角线的两边成对出现
3. 对称矩阵的逆仍然为对称矩阵
4. 对称矩阵 一定 可以正交对角化

对角矩阵

性质：

1. 一定是方阵
2. 只有对角线上有元素
3. 是一种 三角矩阵，因此具备 三角矩阵 的所有特征
4. 对称矩阵 能够 正交对角化 为 对角矩阵

三角矩阵

性质：

1. 一定是方阵
2. 三角矩阵的 主对角线 上的元素，就是它的特征值

正交矩阵

满足

\[AA^T=A^T A=I \]

的方阵，叫做 正交矩阵

性质：

1. 正交矩阵一定可逆 ：也就是说：正交矩阵一定有： \(A^T = A^{-1}\)
2. 具有单位正交列向量，反之也成立
3. 正交矩阵 列彼此单位正交，行也彼此单位正交。
4. 正交矩阵不改变向量的范数： \(||Ux||=||x||\) U为正交矩阵
5. \((Ux)\cdot(Uy) = x\cdot y\)
6. \((Ux)\cdot(Uy) = 0\) 的充要条件是： \(x\cdot y = 0\)

任何具有单位正交列的方阵 都是正交矩阵

可正交对角化的矩阵

定义：如果存在一个 正交矩阵 P (满足 \(P^{-1} = P^T\)) 和一个 对角矩阵 D 使得

\[A = PDP^T = PDP^{-1} \]

则称矩阵 A 为可正交对角化的矩阵

注意 P必须由 彼此线性无关的且单位正交的特征向量 构成

定理 ：一个n阶方阵A可正交对角化的充要条件是 A 是对称矩阵

可正交对角化的矩阵一定是对称矩阵，只有对称矩阵才能可正交对角化

注意 对称矩阵的 不同 特征空间的任意两个特征向量是正交的，但 同一特征空间 的不同特征向量 虽然一定线性无关，但不一定正交，需要进行检查，然后用格莱姆施密特方法 把他们化成正交的。

将一个对称矩阵正交对角化的例题：课本P394

相似矩阵

n阶方阵才能彼此相似

性质：

2. 相似矩阵特征值相同，特征值相同不一定相似，但是 如果 A B 均为对称矩阵，那么A B 相似