二、梯度、散度和旋度數學定義
2.1哈密頓算子
哈密頓引進的一個矢性微分算子稱為哈密頓算子或▽ 算子：
優點：在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函數的微分運算轉變為矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。身並無意義，就是一個算子，同時又被看作是一個矢量，在運算時，具有矢量和微分的雙重身份。
運算規則為：
其梯度、散度及旋度用▽ 算子表示為（u 為標量；A為矢量）：
2.2 拉普拉斯算子
拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯算子定義為：
f的拉普拉斯算子也是笛卡爾坐標系xi中的所有非混合二階偏導數：
數學表示式
二維空間：其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡爾坐標：
極坐標的表示為：
三維空間：
笛卡爾坐標系下的表示為：
極坐標的表示為：
2.3 梯度數學定義
標量u的哈密頓算子運算。
梯度本質：
作用對象：標量場
運算對象：標量
運算結果：向量（矢量）
梯度針對一個標量場（勢場），衡量一個標量場的變化方向。梯度為0說明該勢場是個等勢場。其結果為向量。
2.4 散度數學定義
散度表示是的場分量沿各自方向上的變化規律。
哈密頓算子與矢量A（->）的點積為矢量A的散度。
散度本質：
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結果：標量
散度針對一個向量場，衡量一個向量場的單位體積內的場強。散度為0說明這個場沒有源頭。其結果為標量。
2.5 旋度數學定義
旋度表示是的各個分量沿着與它們相垂直的方向上的變化規律。
哈密頓算子與矢量A的叉乘，即為矢量旋度。
旋度本質：
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結果：向量
旋度針對一個向量場，衡量一個向量場的自旋。旋度為0說明這個場是個保守場（無旋場），保守場一定是某個標量場的梯度場。其結果為矢量。
2.6 矢量場的旋度與散度的意義：
2.7 梯度、散度、旋度的關系：
與拉普拉斯算子的關系
