微分的幾何意義
為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義.
在直角坐標系中，函數\(y=f(x)\)的圖形是一條曲線.對於某一固定的\(x_0\)值，曲線上有一個確定點\(M(x_0，y_0)\)，當自變量 x 有微小增量\(\Delta x\)時，就得到曲線上另一點\(N \left( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y \right)\)。從圖2-11可知：
\[MQ = \Delta x \]
\[QN = \Delta y \]
過點M作曲線的切線MT，它的傾角為，\(\alpha\)則
\[Q P = M Q \cdot \tan \alpha = \Delta x \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) \]
即
\[\mathrm { d } y = Q P \]
由此可見，對於可微函數 \(y = f ( x )\) 而言，當 \(\Delta y\)是曲線\(y = f ( x )\)上的點的縱坐標的增量時，\(dy\)就是曲線的切線上點的縱坐標的相應增量.當\(| \Delta x |\)很小時，\(| \Delta y - d y | 比 | \Delta x |\)小得多、因此在點 M 的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段.在局部范圍內用線性函數近似代替非線性函數，在幾何上就是局部用切線段近似代替曲線段，這在數學上稱為非線性函數的局部線性化，這是微分學的基本思想方法之一.這種思想方法在自然科學和工程問題的研究中是經常采用的.
參考： 《高等數學》同濟六版 -> P115