微分的几何意义
为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义.
在直角坐标系中，函数\(y=f(x)\)的图形是一条曲线.对于某一固定的\(x_0\)值，曲线上有一个确定点\(M(x_0，y_0)\)，当自变量 x 有微小增量\(\Delta x\)时，就得到曲线上另一点\(N \left( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y \right)\)。从图2-11可知：
\[MQ = \Delta x \]
\[QN = \Delta y \]
过点M作曲线的切线MT，它的倾角为，\(\alpha\)则
\[Q P = M Q \cdot \tan \alpha = \Delta x \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) \]
即
\[\mathrm { d } y = Q P \]
由此可见，对于可微函数 \(y = f ( x )\) 而言，当 \(\Delta y\)是曲线\(y = f ( x )\)上的点的纵坐标的增量时，\(dy\)就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.当\(| \Delta x |\)很小时，\(| \Delta y - d y | 比 | \Delta x |\)小得多、因此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.
参考： 《高等数学》同济六版 -> P115