矩陣與行列式的幾何意義

本文轉載自查看原文 2016-10-02 21:00 23730 數學

作者：童哲
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行列式這個“怪物”定義初看很奇怪，一堆逆序數什么的讓人不免覺得恐懼，但其實它是有實際得不能更實際的物理意義的，理解只需要三步。這酸爽~

1，行列式 det(A)

是針對一個 $n\times n$ 的矩陣

而言的。

表示一個

維空間到

維空間的線性變換。那么什么是線性變換呢？無非是一個壓縮或拉伸啊。假想原來空間中有一個

維的立方體（隨便什么形狀），其中立方體內的每一個點都經過這個線性變換，變成

維空間中的一個新立方體。

2，原來立方體有一個體積 $V_{1}$ ，新的立方體也有一個體積 $V_{2}$ 。

3，行列式 det(A)

是一個數對不對？這個數其實就是 $V_{2}$ $\div$ $V_{1}$ ，結束了。

就這么簡單？沒錯，就這么簡單。

所以說：行列式的本質就是一句話：

行列式就是線性變換的放大率！

理解了行列式的物理意義，很多性質你根本就瞬間理解到忘不了！！！比如這個重要的行列式乘法性質：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

道理很簡單，因為放大率是相乘的啊~！

你先進行一個

變換，再進行一個

變換，放大兩次的放大率，就是式子左邊。
你把“先進行

變換，再進行

變換”定義作一個新的變換，叫做“

”，新變換的放大律就是式子右邊。

然后你要問等式兩邊是否一定相等，我可以明確告訴你：too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像：

“ 你經過股票投資，把1塊錢放大3被變成了3塊錢，然后經過實業投資，把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少？”

$3\times 5=15$

翻譯成線性代數的表達就是：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

（如果有幸過50贊，我就明天再追加點行列式更好玩的東東，太晚了睡覺去了。晚安）
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好的已經過50了，我來解鎖新的體驗哈~

上回咱們說到行列式其實就是線性變換的放大率，所以你理解了：
$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

那么很自然，你很輕松就理解了：
det(AB)=det(BA)

so easy，因為
$det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

同時你也必須很快能理解了

“矩陣可逆” 完全等價於 “ $det(A)\ne 0$ ”

因為再自然不過了啊，試想 det(A)=0

是什么意思呢？不就是線性變換

把之前說的

維立方體給拍扁了啊？！這就是《三體》中的”降維打擊”有木有！！！如來神掌有木有！！！直接把3維立方體 piaji一聲~一掌拍成2維的紙片，紙片體積多少呢？當然是 0 啦！

請注意我們這里說的體積都是針對

維空間而言的，

就表示新的立方體在

維空間體積為0，但是可能在 n-1

維還是有體積的，只是在

維空間的標准下為0而已。好比一張紙片，“2維體積”也就是面積可以不為0，但是“3維體積”是妥妥的0。

所以凡是 det(A)=0

的矩陣

都是耍流氓，因為這樣的變換以后就再也回不去了，降維打擊是致命性的。這樣的矩陣必然是沒有逆矩陣 $A^{-1}$ 的。這就是物理意義和圖象思維對理解數學概念的重要性。

當然要證明也是小菜一碟輕而易舉的：

由 $AA^{-1}=I$

可知 $det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

這怎么可能啊~？ det(A)=0

了，那么 $det(A^{-1} )$ 等於多少呢？毫無辦法，只能不存在。一個矩陣怎么可能行列式不存在呢？只能是因為 $A^{-1}$ 不存在。所以

自然不可逆。

（如果有幸過1000贊，我就再追加點行列式更亮瞎雙眼的性質。）
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YES！竟然真的過1000了，我來說點兒燒腦的，第一次看以下結論如果沒有毀三觀亮瞎雙眼的刺激感，請接受阿哲的膝蓋：

傅里葉變換也可以求行列式！！！

是的你沒有聽錯，大名鼎鼎的傅里葉變換 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 居然也可以求行列式！！！

首先一定有很多人要問責我，是不是沒有學過行列式，因為按照絕大多數教科書來說，行列式是這樣定義的：

$det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{} sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i}$

然后還有什么好說的，拿到一個矩陣各種化簡然后算就好了唄，可是怎么說傅里葉變換也可以求行列式？傅里葉變換又不是一個矩陣，更別說矩陣元 $A_{ij}$ 了。我在痴人說夢嗎？

但是，等等！橋度麻袋，“傅里葉變換”里面有個"變換"，難道它也是“線性變換”？！！！

一檢查，尼瑪還真的是。所有函數 f(x)

就組成了一個向量空間，或者說線性空間。可是為什么呢？從高中咱們就熟悉的 f(x)

明明是函數啊，怎么就變成了向量

呢？向量

不是一個

維空間中的箭頭嗎？長得也不像啊。

其實 “所有 f(x)

組成的集合” 確實滿足一切線性空間的定義，比如：

1，向量 f(x)

和向量

可以相加，並且有交換律 f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2，存在零向量

，即處處值為零的函數

3，任何一個向量 f(x)

都存在一個與之對應的逆向量 -f(x)

，使得相加之和等於零向量 f(x)+(-f(x))=0(x)

以及存在數乘以及分配率等性質…… 總之“所有向量 f(x)

組成的集合”完美滿足線性空間的8條黃金法則。

艾瑪真是亮瞎了俺的鈦合金左眼，原來咱們熟悉的函數 f(x)

身世可不一般啊，其實它是一個掩藏得很好的向量！！！對，我沒有說錯，因為所有函數 f(x)

組成的集合構成了一個線性空間！而且還是無窮維的線性空間！！！阿哲校長感動得哭了 T____T

好，下面准備亮瞎鈦合金右眼吧~

一旦接受了向量 f(x)

是向量的設定，周圍的一切都變得有趣起來了！軼可賽艇！！！

接下來不妨思考一下，傅里葉變換 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 是把一個函數 f(x)

變成了另一個函數

，難道不可以理解為把一個線性空間中的向量 f(x)

變成了另一個線性空間中的向量 F(k)

嗎？我整個人都咆哮了！！！

而且這個變換是妥妥的線性的，完美地滿足線性變換的定義：

$A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2}$ 以及 $A(k \times v_{1})=k\times Av_{1}$

因為積分變換的線性性：

f(x)+g(x)

的傅里葉變換 $=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx$ $=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=$ f(x)

的傅里葉變換+

的傅里葉變換

加法達成。當然數乘也輕松滿足：

$\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

於是乎，我們通過以上內容知道了一個重要的結論：

傅里葉變換其實也是線性變換，所以也可以求行列式！！！

（其實傅里葉變換作為一個線性變換不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如 $f(x)=e^{-x^{2} /2}$ ，以及其他很多很多牛逼的東東，恭喜你又一扇新世界的大門被打開了。千萬不要小看傅里葉變換，比如量子力學不確定性原理的秘密就都在這里了）

言歸正傳那么傅里葉變換神秘的行列式的值 det(F)

究竟是多少呢？難道這個無窮維線性變換也可以求出行列式嗎？

（真相只有一個！只要收集到2000個贊阿哲就把 det(F)

求出來給你看~ 求分享O(∩_∩)O~）
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OK，判定條件觸發開始求 det(F)

。

很明顯的問題是這是一個比較困難的問題，如果不太困難的話評論中應該有人po出了答案。因為求傅里葉變換的行列式讓我們覺得沒有工具可以用，行列式的定義式毫無用武之地。畢竟沒有誰能夠寫出傅里葉變換的 $\infty \times \infty$ 矩陣表達式並套用公式。

所以一定要用到其他的化簡辦法，例如對稱性啊等等。不妨先回顧一下之前的結論，對於任何可逆線性變換

有如下性質：

$det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

如果把傅里葉變換

看做是一個無窮維的

，那么也一定滿足這個性質。所以只要求出了傅里葉變換的逆變換的行列式，求一個倒數就得到了傅里葉變換的行列式。

艾瑪~ 問題變得更難了。傅里葉變換的逆變換？還好我學過。。。

若傅里葉變換是： $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

則它的逆變換是： $f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk$ （說明傅里葉變換可逆，因為表達式都出來了）

現在的問題是，正負變換，我都不會求行列式，唯一知道的是 $det(F)\times det(F^{-1} )=1$ 為之奈何？我們還需要至少一個表達式能夠反映二者的關系，連立起來才能夠求解。

沒問題，因為這兩個變換真是太像了，像到幾乎完全對稱。差異點僅僅在於逆變換多一個乘積系數 $\frac{1}{2\pi }$ ，以及積分因子 $e^{ikx}$ 多了一個負號。除此之外完全是同一個線性變換。而積分因子 $e^{ikx}$ 多一個負號是什么意思？意味着復數空間的手性定義相反，

變成了

，左手變成右手，或者說虛數部分取負號實數部分不變。這樣的手性改變，並不會改變線性變換的體積放大率（之前的知識）。於是乎在線性變化的方法率的意義下，傅里葉變換和它的逆變換放大率是一樣的（還差一個乘積系數 $\frac{1}{2\pi }$ ）。

於是也就是說 $det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)$

結合之前的式子 $det(F)\times det(F^{-1} )=1$

我們很容以得到 $det(F)=\sqrt{2\pi }$

（更嚴格來說更對稱的傅里葉變換版本 $F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 的行列式為1）

我去，真的可以求啊。是的，你已經求出來了，雖然神一般的無窮維行列式的計算公式並沒有出現，但你確實求出來了。而且阿哲再附送大家一個彩蛋：

都說求導可以把一個函數 f(x)

變成另一個函數

，如果我們把“求導這個操作”

當做是一個線性變換，發現其實也是完全合理的：

$D: f(x)\rightarrow f'(x)$

線性性完美地滿足:

$D: k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)$

那么請問"求導作為函數空間下的線性變換行列式”等於多少呢？

思考一下。。。

再思考一下。。。前方劇透請小心手滑！！！

。。。

det(D)=0

因為，它是不可逆的！

你要問我茲次不茲次？我可以明確告訴你，不可逆的線性變換都是耍流氓，行列式都等於零。不要沒事就搞個大新聞。

（全劇終，其他文章連載繼續。時間太少更新不夠勤，請多包涵。另外數學中的嚴格性在本文中並不能體現，也請海涵。）

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矩陣的秩與行列式的幾何意義

這里首先討論一個長期以來困惑工科甚至物理系學生的一個數學問題，即，究竟什么是面積，以及面積的高維推廣？

1 關於面積：一種映射

大家會說，面積，不就是長乘以寬么，其實不然。我們首先明確，這里所討論的面積，是歐幾里得空間幾何面積的基本單位：平行四邊形的面積。平行四邊形面積的定義，幾何上說是相鄰兩邊邊長乘以他們之間的夾角的正弦。

然而為了應對更一般情形和更高維度的數理問題，我們有必要把面積的定義推廣開來。注意到以下事實：

面積是一個標量，它來自於（構成其相鄰邊）兩個矢量。因此，我們可以將面積看成一個映射：

其中V就是一個矢量，V*V代表兩個矢量的有序對；f就是面積的值。

下面我們將說明這個映射是一個線性映射。

從最簡單的例子出發。如果第一個矢量是（1，0），第二個矢量是（0，1）；也就是說，兩個矢量分別是X和Y軸上的單位正向量，那么由這兩個矢量張成的四邊形就是一個正方形，其面積根據定義，就是長乘以寬=1*1=1。

因此有：

如果我們把第一個矢量”縮放“a倍，面積將會相應是原來的a倍；把第二個矢量“縮放”b倍，面積也會成為原來的b倍。如果同時縮放，很顯然，面積將會變成原面積的ab倍。這表明，面積映射對於其兩個操作數（矢量）的標量積是各自線性的，如下：

最后，我們要說明，面積映射對於其操作數（矢量）的矢量加法也是線性的。因為矢量加法操作的本身是線性的，那么其面積映射理應對此也是一個線性映射。這里我們打算從幾個實際的例子出發，說明映射的加法線性性的后果。

顯然（兩個共線矢量所張成的平行四邊形還是一條線，因此面積為0）：

假定面積映射是一個關於矢量加法的線性映射，那么我們有：

注意計算過程中用到了上面的結論。這說明：

也就是說，交換相互垂直操作數矢量的順序，面積映射取負。孰正孰負取決於認為的定義。一般，我們把X軸單位矢量在前，Y軸單位矢量在后，從X軸到Y軸張成的一個平行四邊形的面積，取做正號。

1.1 右手定則

由此我們引入右手定則。注意右手定則只在三維空間中有效。如果以X正方向為首，Y正方向為尾，右手定則告訴我們，紙面向外是面積的正方向；如果反過來，那么紙面向內就是該面積的正方向，與規定的正方向相反，取負號。那么面積正負號的幾何意義就明顯了。

由此，我們不難得到平面內任意兩個矢量所張成的平行四邊形的面積（*）：

我們不難看到，所謂面積就是一個2X2矩陣的行列式：

如下圖。

其中第一行就是我們的第一個行向量(a,b)；第二行就是第二個行向量(c,d)。或者第一列是第一個列向量(a,b)^T, 第二列是第二個列向量(c,d)^T。這取決於我們把矢量寫成行向量（前者）還是列向量（后者）的形式。

1.2 行列式的計算性質

由此我們很容易能發現，行列式的值與把矢量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無關的。這也就是為什么說，在計算行列式時，行和列的地位是對等的。並且注意到，由上述分析，交換矢量的順序，面積的值取負號，這也就是為什么行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負號的原因。另外，行列式的其他計算性質，都一一反映在面積映射的線性性之中。

由此我們可見，行列式就是關於“面積”的推廣。他就是在給定一組基下，N個向量張成的一個N維廣義四邊形的體積。這就是行列式的本質含義。

2，行列式的推廣

由上，我們可以輕松推廣到三維體積的計算：

注意到，行列式的定義，是每一行各取一個不同列的元素的乘積並且符號和所謂的逆序性有關（PARITY）。所謂逆序性，其幾何意義就是在規定了一個正方向之后（比如從1,2,3,4,5...N這個順序定義為正號），交換任意一對數都取一次負號。這樣的性質我們在上述的面積函數中已經有所看到，實際上體積，更高維度的廣義體積，也有正方向之說，只不過已經難以用右手法則（以及叉乘）來形象說明罷了。右手定則的局限性也是將高維面積推廣成行列式表達的一個動機之一。

對於這種交換任何一對指標（操作數）就改變符號的性質，我們叫做：反對稱（ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘積，是因為如果有任意兩個元素是同行（列）的，那么交換他們的列指標，乘積不變但符號要相反，這乘積必須是0，也就是在行列式的值中不予體現。

行列式的定義之所以這么冗雜，就是來自於面積映射的反對稱性。實際上面積映射是一個2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM，我們能看到R-FORM的形式和一個R乘R矩陣的行列式是完全一致的。

由上我們已經可以看到，2-FORM代表的是平面內的面積；3-FORM自然而然就是3維空間內的體積；4-FORM是4維空間里的超體積。以此類推。而實際上，由上我們已經看到，將這些矢量在給定的基坐標下寫成矩陣（必定是方陣），矩陣的行列式就是對應的面積（體積）。這個推廣的證明各位應該能在任何一本線性代數的專門教材中看到（如果沒有的話可以自證）。

3，線性無關的幾何意義

記空間的維度為N，給定一組矢量，什么是他們線性無關性？我們下面將說明，一組矢量的線性相關性本質上，是描述他們所張成的廣義平行四邊形體積是否為NULL（零）。

我們仍然從最簡單的2維空間出發。如果兩個2維空間的向量是線性相關的，那么就是說，其中一個與另外一個共線，也就是說，他們所張成的四邊形，面積是零。反之，如果線性無關，則不共線，則面積不為零。

同理，如果三個三維空間的向量是線性無關的，那么他們三者就不共面。因此他們所張成的平行六面體，體積不是零。

更進一步地，我們知道，二維空間如果給定三個向量，他們必定共面（二維空間內不可能存在一個“體積”），因此他們必定線性相關。推而廣之，我們不難理解，為什么一個維度為N的空間內，任意一組M個向量（M>N）必定線性相關了：因為維度大於空間維度的超平形四邊體不存在。

由此我們得到一個一一對應的關系：

N個向量線性無關 == 他們所張成的N維體體積不為零

反之，如果N個向量線性相關，那么他們所張成N維體，體積為零。

例如，一對共線矢量張成的平行四邊形，退化成一個線，其面積顯然是0；一組共面的三個矢量張成的平行六面體，退化成一個面，其體積顯然是0。

因為我們已經知道行列式與面積的關系，因此我們有結論：

線性無關矢量組成的矩陣的行列式不為零；線性相關矢量組成的矩陣的行列式必為零。

4，行列式與矩陣的逆

我們知道，行列式為0的矩陣，不可逆；行列式不為零的矩陣，可逆。我們不禁要問，代表面積的行列式，是如何和線性變換的可逆性聯系在一起的呢？

當我們理解了線性變換的幾何意義之后，就不難解答了。我們現陳述如下：

記線性變換的矩陣為A。

如果我們把空間中一組線性無關的矢量都寫成列向量的形式，那么他們所張成的N維體體積不為零，根據上面的分析，其值由行列式給出。向量經過線性變換A變換之后，得到的新向量形式如下：

注意到A是一個N*N的矩陣，向量是列向量。

變換前，N維體的體積是：

變換之后，N維體的體積是（注意到，第二個等式實際上說明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是N*N矩陣A和另外一個N個列向量組成的N*N矩陣的乘法）：

A的行列式如果不為零，則代表這個變換后，N維體的體積不是NULL。又結合線性無關與體積的性質，我們可以說：

如果A的行列式不為零，那么A可以把一組線性無關的矢量，映射成一組新的，線性無關的矢量；A是可逆的（一對一的映射，保真映射，KERNEL是{0}）

如果A的行列式為零，那么A就會把一組線性無關的矢量，映射成一組線性相關的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是{0}。我們可以研究他的陪集）

如果A的行列式為負數，那么A將會改變原N維體體積的朝向。

從線性無關到線性相關，其中丟失了部分信息（例如坍縮成共線或者共面），因此這個變換顯然就是不可逆的。線性是否無關和所張成N維體的體積有直接關系，這個體積值又與A的行列式有關。因此我們就建立了A的行列式與其是否可逆的幾何關系。

舉例說明，我們假設A是一個3維的矩陣。如果映射前，有一組三個線性無關的矢量，我們知道它們張成的體積不是0；經過映射后，他們對應的新矢量也能張成一個平行六面體，那么這個平行六面體的體積就是原體積乘以A的行列式。

顯然，如果A的行列式是0，那么變換后的新“平行六面體"的體積將不可避免的也是0。根據上文的結論，我們有：變換后的這一組新矢量線性相關。

結論：

線性變換A的行列式是否為零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一組線性無關的矢量變換成另一組保持無關性的矢量。

5，秩

有時候，雖然A並不能保持把空間一組最大數目矢量的線性無關性，但它能保證一組更少數目矢量的線性無關性。這個數目往往少於A的維度（或者說，線性空間的維度），這個數目就叫做線性變換A的秩。

例如，一個秩為2的三乘三矩陣A。因為秩小於3，那么任何一個3維六面體經過他的變換后，體積都為零（退化一個面）；但存在一個面積不為零的面，在變換之后還可以是一個非零面積的面。

所謂一個線性變換的秩，無非就是變換后，還能保持非零體積的幾何形狀的最大維度。

理解了秩，行列式和可逆性的幾何意義，我們就能隨意構造一些線性變換A，使得他要么保全所有的幾何體，要么將特定維度特定結構的幾何體，壓縮成更低維度的幾何體。這不就是所謂的“降維打擊”么。。所以說，三體中的終極必殺，其實也就是一個行列式為0，秩比維度少1的一個線性變換而已。

更高維度下的推廣，還希望讀者自己去進行；此外上文中關於面積函數線性性的證明，也交給讀者自行去嚴格驗明。

2012.11.10

* 不難證明其正確性

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