jacobian矩陣和jacobian行列式

本文參考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/39762178

 

設  是一個函數，它的輸入是向量  ，輸出是向量  :

 

 

那么雅可比矩陣是一個m×n矩陣：

 

由於矩陣描述了向量空間中的運動——變換，而雅可比矩陣看作是將點  轉化到點  ，或者說是從一個n維的歐式空間轉換到m維的歐氏空間。

 

 

如果m = n， 可以定義雅可比矩陣  的行列式，也就是雅可比行列式（Jacobian determinant）。

 

在微積分換元中，也就是給出了 從x到y的n維體積的比率

 

2.二維雅可比矩陣的幾何意義

 

在二維情況（有直觀的圖），雅可比行列式代表xy平面上的面積微元與uv平面上的面積微元的比值。

 

 

設  ，雅可比行列式是：

 

如圖所示：dA代表dx和dy張成的平行四邊形的面積，如果du和dv充分接近於0，那么dA：

 

二重積分換元：

 

n維情況以此類推。