定義
\(n\) 階矩陣 \(A\) 的行列式記為 \(\det A\) 或 \(|A|\)，是一個值。
它代表由 \(n\) 個 \(n\) 維向量 \((a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{1,n})\)，\((a_{2,1},a_{2,2},\cdots,a_{2,n})\)，\(\cdots\)，\((a_{n,1},a_{n,2},\cdots,a_{n,n})\) 組成的 \(n\) 維幾何體的 \(n\) 維體積。
例如，當 \(n=2\) 時，\(\det A\) 代表的就是一個平行四邊形的面積（不是三角形）。
萊布尼茲行列式公式
對於一個 \(n\) 階矩陣 \(A\)，我們枚舉 \(1\) 到 \(n\) 的所有排列 \(p_i\)，記 \(p_i\) 的逆序對個數為 \(v_i\)，則 \(\det(A)=\sum_{i=1}^{n!} (-1)^{v_i} \times \prod_{k=1}^{n} a_{k,p_{i,k}}\)。
用人話說，就是在矩陣中每行每列各選一個值求積，若逆序對個數為偶數，則在答案上加上這個積，否則減去，最終求出的答案就是 \(\det A\)。
考慮以上OI中能用到的兩個公式，簡單理解一下，你會發現下面這個鬼東西就是上面向量的叉乘（至少二維和三維能解釋）。
其他東東
余子式
一個矩陣去掉元素 \(a_{i,j}\) 所在的行與列余下的是一個邊長為 \(n-1\) 的矩陣，這個矩陣的行列式就是元素 \(a_{i,j}\) 的余子式，記為 \(M_{i,j}\)。
將元素 \(a_{i,j}\) 的余子式像求行列式一樣乘上 \((-1)^{i+j}\) 就是代數余子式，記為 \(A_{i,j}\)。
性質
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矩陣的某一行/列全為 \(0\)，則行列式為 \(0\)。
用萊布尼茲行列式展開易證。
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交換矩陣的兩行/兩列，行列式變換符號。
考慮每一個排列對應的乘積，相當於在排列里交換兩個，正好取反。
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矩陣如果有兩行/兩列相等，則 \(\det A=0\)。
考慮交換這兩行得到 \(A'\)，由於兩行/列相等，所以 \(A'=A\)，\(\det A'=\det A\)，又 \(\det A'=-\det A\)，\(\therefore \det A=0\)。
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將矩陣的某一行提出一個公因數 \(k\) 得到 \(A'\)，則 \(\det A=k\det A'\)。
易證。
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如果兩個矩陣 \(A,B\) 除了第 \(i\) 行后都與矩陣 \(C\) 相等，而 \(C_{i,k}=A_{i,k}+B_{i,k}\)，則 \(\det A+\det B=\det C\)。
乘法分配律，對於減法也是適用的。
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將矩陣 \(A\) 的某一行/某一列加/減到另一行/列上，行列式不變。
以加為例，令加后的矩陣為 \(A'\)，將被加行替換為某一行的矩陣為 \(A_{del}\)，則 \(\det A=\det A'+\det A_{del}\)，又有性質 \(3\)，所以 \(\det A_{del}=0\)，即證。
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若 \(A\) 有兩行或兩列對應成比例，則 \(\det A=0\)。
由性質 \(6\) 一倍一倍消為 \(0\) 即可。
一些式子/定理
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矩陣的行列式對於任意一行或一列的元素乘上代數余子式之和
\[\det A=\sum_{i=1}^{n} a_{k,i} \times A_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i,k} \times A_{i,k} \]證明：
對於每一個元素，考慮所有取到這個元素的乘積對行列式的貢獻。
對於任意一個 \(M_{i,j}\) 中的乘積，它在加入 \(a_{i,j}\) 后對原矩陣行列式的貢獻的絕對值都是乘 \(a_{i,j}\)。
考慮強行加入 \(p_i=j\) 時對整個排列逆序對的貢獻，發現即為下圖塗黃區域中取的元素個數。
如果原來的 \(p\) 是一個遞增序列，那么在黃色區域中的數量就是 \(|i-j|\) ，與 \(i+j\) 同余。
如果我們交換 \(p\) 中的兩個元素，相當於選一個子矩陣，將其中兩個頂點換為另外兩個，黃色區域中元素數量奇偶性不變。
所以經過 \(a_{i,j}\) 的排列對行列式的貢獻就是 \(a_{i,j} \times A_{i,j}\)，即證。
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若 \(A\) 是一個三角矩陣，則 \(\det A=\prod_{i=1}^{n} a_{i,i}\)。
由於三角矩陣只在對角線以及對角線的一側有值，直接用萊布尼茲行列式展開，發現只有這一個有值。
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一個矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式。
\[\det A^T=\det A \]證明請自行求助此處。
求值
觀察性質，我們會發現和高斯消元十分一致，於是利用高斯消元求解。
我們可以將原矩陣消為一個三角矩陣/對角線矩陣，於是直接計算對角線之積即可，復雜度 \(O(n^3)\)。