為什么查基爾霍夫只能查到物理學家？
參考資料：
1.生成樹的計數及其應用
2.http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/54914530
行列式
排列 Permutation
對換：相鄰兩項交換
對換會使逆序對的個數改變1
$\delta(i_1i_2...i_n)=(-1)^{t}$
$t$是逆序對的個數，可以將排列分為奇排列和偶排列
行列式 Determinant
$n$階行列式：
$det(A)=\sum\limits_{(i_1i_2...i_n)}\delta(i_1i_2...i_n)a_{1,i_1}a_{2,i_2}...a_{n,i_n}=|A|$
就是每行每列只選一個元素乘起來的所有情況的和
我不對打矩陣我不畫了...長得和矩陣一樣只不過用$||$括起來
性質：
$1.\quad det(A)=det(A^T)$
證明：考慮定義式...
這告訴我們行列式的行和列是平等的，行滿足列也滿足
$2.\quad$兩行互換，行列式變號
證明：兩行互換后相當於排列中兩個元素交換，逆序對必定改變奇數個，正負改變
證明：設交換的兩個元素為$i,j$，則相當於對換了$2*(j-i)-1$次
推論：行列式兩行相同時值為0
$3.\quad$一行乘上$k$,行列式乘上$k$
推論：行列式兩行成比例或一行全0，值為0
$4.\quad$兩個行列式只有一行不同，他們的行列式和等於不同的行相加后的行列式
證明：考慮定義式，把加的那一行展開
推論：將行列式的任意行乘以實數$k$，再相應地加到另一行上去，行列式的值不變
證明推論：拆成兩個行列式的和，一個有兩行成比例...
這樣就可以高斯消元$get$
$5.\quad$每行每列和均為0的矩陣行列式為0。
證明：
高斯消元過程中這一性質仍然存在。
最后消出來，最后一行前$n-1$一定為$0$，又因和為$0$，所以最后一項也是$0$，出現全$0$行,行列式即為$0$。
計算行列式的值
$det(B)=(-1)^S det(B')=(-1)^S \prod\limits_{i=1}^n{b'_{i,i}}$
$B'$為$B$轉換為上三角形式
證明：顯然上三角形式的行列式的值為對角線乘起來....考慮行列式就是每行每列選一個，第一列只有選$a_{1,1}$有貢獻並且這樣就選了第一行剩下的不用選了，然后數學歸納法下去
$K$階子式
選了k行和k列組成的行列式
主子式
$n-1$階主子式，就是對於$r$，第r行、第r列同時去掉后得到的新行列式
Binet-Cauchy公式
$A\ p*q\quad B \ q*p$
$det(A*B)=$
$0\ ,\ p>q$
$det(A)*det(B)\ ,\ p=q$
q中選p個然后1..p和j1...jp分別作為行和列A和B的p階子式相乘$\ ,\ p<q$
$det(AA^T)=(det(A))^2$
矩陣樹定理 Kirchhoff Matrix-Tree
$1.\quad G$的度數矩陣D[G]是一個$n*n$的矩陣當$i \neq j$時,$d_{ij}=0$;當$i=j$時，$d_{ij}$等於$i$的度數;
$2.\quad G$的鄰接矩陣A[G];
我們定義G的Kirchhoff矩陣(也稱為拉普拉斯算子)$C[G]=D[G]-A[G]$，則Matrix-Tree定理可以描述為：
G的所有不同的生成樹的個數等於其Kirchhoff矩陣$C[G]$任何一個$n-1$階主子式的行列式的絕對值。
證明：
$1.\quad C[G]=0$ 因為每行每列和都是0，由推論
$2.\quad G$不連通，任一主子式$det=0$，證明考慮把每個連通塊對角線排起來，每個連通分量是獨立的圖
$3.\quad G$是樹，任一主子式$det=1$，證明考慮構造一個對角線為1的上三角行列式(其實我沒認真想構造感覺正確)
構造圖$G$關聯矩陣$B$，用上面那個公式變形
直接copy論文啦，感覺說的很清楚
如果$B_r^x$存在環那么可以構造出一個行列和為$0$的子式，所以$det(B_r^x)=0$。
顯然，可以看成是僅由所有的頂點和屬於x的邊構成的新圖的Kirchhoff矩陣的一個n-1階主子式。
根據圖的Kirchhoff矩陣的性質，如果將所有屬於x的n-1條邊加入圖中后形成一顆樹，那么$det(B_r^xB_r^{xT})=1$；
而如果沒有形成樹，則必然存在一個環，那么 $det(B_r^x)=0$。
也就是說，我們考察邊集所有大小為n-1的子集，如果這個子集中的邊能夠形成一顆樹，那么我們的答案加1，否則不變。
這就恰好等於原圖生成樹的個數！
最后來自werkeytom_ftd的一個有趣的粟子
我們來常識用矩陣樹定理解決一個簡單問題。
求n個點組成的無根帶標號樹有多少個。
可以看做是無向完全圖的生成樹計數。
它的基爾霍夫矩陣主對角線都是n-1，其余全都是-1。
那余子式，也是一樣，不過規模變成了$(n-1)*(n-1)$
現在求它的行列式
讓第一行加上每行，第一行變成全都是1。
用第一行去加其余行，每個其余行除了在主對角線上是n全都變成0。
於是最后顯然變成了一個上三角矩陣，行列式為主對角線元素相乘。
因此是$n^{n-2}$