jacobian矩阵和jacobian行列式

本文参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/39762178

 

设  是一个函数，它的输入是向量  ，输出是向量  :

 

 

那么雅可比矩阵是一个m×n矩阵：

 

由于矩阵描述了向量空间中的运动——变换，而雅可比矩阵看作是将点  转化到点  ，或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间。

 

 

如果m = n， 可以定义雅可比矩阵  的行列式，也就是雅可比行列式（Jacobian determinant）。

 

在微积分换元中，也就是给出了 从x到y的n维体积的比率

 

2.二维雅可比矩阵的几何意义

 

在二维情况（有直观的图），雅可比行列式代表xy平面上的面积微元与uv平面上的面积微元的比值。

 

 

设  ，雅可比行列式是：

 

如图所示：dA代表dx和dy张成的平行四边形的面积，如果du和dv充分接近于0，那么dA：

 

二重积分换元：

 

n维情况以此类推。