1. 向量表示
向量指具有大小和方向的量，也稱為矢量。可以從幾何和坐標兩個角度來表示。
1）幾何表示
向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，也就是向量的長度。箭頭所指的方向表示向量的方向。
長度為 0 的向量叫做零向量。長度等於 1 個單位的向量，叫做單位向量。
2）坐標表示
空間中有無數條有向線段，長度和方向相同的向量也有無數條，那如何表征一個向量呢？
在空間或者平面建立坐標系，任何一個向量都可以平移到以原點為起點的位置，這時就可以用向量終點的坐標來表征這個向量，記為
$$a = (x,y,z,...)$$
坐標表示和幾何表示是不同的，幾何表示的向量起點可以是任意位置，而坐標表示的向量起點只能是原點。
一個任意位置的向量如何求出它的坐標？用此向量的有向線段終點坐標減去始點坐標。
2. 基和坐標
在同一個線性空間中，任一個向量都可以在一組基下表示成一組坐標。不同的基就構成不同的坐標系。但基本身也可以被其它坐標系描述。
要描述向量需要具備兩個條件：
1）確定一個線性空間，同一空間內的所有元素都具有相同的向量維度。
2）在確定的線性空間的基礎上，選擇該空間中的一組基，確定了基，就確定了向量的坐標。
線性空間是我們自己規定的完備的元素集合，一個向量可以放到不同的線性空間去表示，那么這些線性空間中的元素必是同維的，不同維度
的向量必定屬於不同的線性空間。
基 $\neq$ 坐標系，但可作為坐標系，一般我們選取線性空間中的標准正交基作為參考系，來描述其它向量和其它基。
當基和坐標一一對應時，此時基向量的坐標肯定是 $(1,0,0,0...),(0,1,0,0,...),...$ 這樣的形式，以三維空間為例，有
$$\alpha = xi + yj + zk = x\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+ y\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$$
需要明白的是：一組基可以被其它坐標系描述，故我們提到基，只是單純的滿足下列條件的向量組：
1）向量組線性無關。
2）線性空間中的任一個向量都可以由基線性表示。
基是線性空間中最大線性無關向量組，因為根據定義來看，給基中增加任一個向量都會是多余的。所以基中所含向量個數就是線性空間的維數。
在某一線性空間中，如果不取標准正交基，而是取任意角度和長度的線性無關向量組作為基來構成坐標系，想要寫出空間上某點相對於它們的
坐標，還是比較麻煩的。所以，不論是其新的基還是向量我們都用笛卡爾坐標系中的坐標來表示。
下面我們在同一個線性空間，同一個參考系下，做一些進一步的闡述。
- 空間中的另一組基和某坐標乘積代表什么含義呢？
某個基在笛卡爾坐標系中的坐標為 $i^{'} = (1,1),j^{'} = (-1,1)$，另一個向量 $(2,0)$，如下圖所示：
將該基 $i^{'},j^{'}$ 和向量 $(2,0)$ 做乘積
$$2i^{'}+0j^{'} = 2\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2\\
2
\end{pmatrix}$$
那這個代表什么含義呢？
從直觀來看，輸出的向量逆時針旋轉了 $45$ 度，而新的基也相當於是標准基逆時針旋轉了 $45$ 度。
可以從合成和分解的角度來看，原先的向量 $(2,0)$ 分解為 $x$ 分量和 $y$ 分量后，$x$ 分量上長度為 $2$，$y$ 分量上長度為 $0$，
現在依舊是分解后各個分量長度為 $2,0$，但變成了按 $i^{'},j^{'}$ 分解了，換句話說：找一個向量，將它沿 $i^{'},j^{'}$ 分解后，各分量的長度為 $2,0$。
所以上面這個式子就相當於在新的基下進行的矢量合成，或者說：笛卡爾坐標系中的原向量在新的基下產生相同效果的位置，因為新的基
是在笛卡爾坐標系下表示的，故合成的向量自然也是相同參考系下的坐標表示。
- 如何求原向量在以此新的基構建的坐標系中的坐標？
下面換一張圖，我們想求向量 $(2,0)$ 在以基 $i^{'} = (0,2),j^{'} = (-2,0)$ 構建的坐標系中的坐標，可直接觀察得坐標為 $(0,-1)$。
選定的參考系本身也是一組基，我們先來研究下這兩組基之間的聯系。
設空間中的兩組基 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}$ 和 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r}$，當然它們首先必須在同一線性空間，同一參考系下被表示。
那必存在矩陣 $A$ 使得
$$(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}) \cdot A$$
則稱矩陣 $A$ 為從基 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}$ 到基 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r}$ 的過渡矩陣。
回到上面那個例子，有
$$\begin{bmatrix}
0 & -2\\
2 & 0
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 & -2\\
2 & 0
\end{bmatrix}$$
過渡矩陣 $A = \begin{bmatrix}
0 & -2\\
2 & 0
\end{bmatrix}$
那么如何根據過渡矩陣來推出同位置的向量在新的參考系中的坐標呢？
假如，向量 $s$ 在以基 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}$ 構成的坐標系中的坐標為 $x_{1},x_{2},...,x_{r}$，以基 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r}$ 構成的坐標系列
中的坐標為 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$。考慮式子
$$x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + ... + x_{r}\alpha_{r} \\
y_{1}\beta_{1} + y_{2}\beta_{2} + ... + y_{r}\beta_{r}$$
這個式子的結果是什么含義呢？
由上面分析可知，這個式子是一個矢量的合成，一個向量不管用什么坐標系來表示，它的位置都是不會變的，但由於參考系不同，沿坐標軸
分解的效果也不同，但合成后都是同一個位置的向量，只是這個向量坐標表示不同。
現在我們將不同的基都采用同一個笛卡爾坐標系表示，那么合成后的向量就具有相同的參考系了，於是
$$x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + ... + x_{r}\alpha_{r} = y_{1}\beta_{1} + y_{2}\beta_{2} + ... + y_{r}\beta_{r}$$
即
$$(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r})\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}\\
...\\
x_{r}
\end{pmatrix} =
(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r})\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2}\\
...\\
y_{r}
\end{pmatrix}$$
所以
$$\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}\\
...\\
x_{r}
\end{pmatrix} =
A\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2}\\
...\\
y_{r}
\end{pmatrix}$$
3. 向量運算
向量是線性空間(參考博客)中的元素，線性空間定義了加法和數乘運算，即向量的加法和數乘。那為向量規定了這兩種運算，有什么數學或
幾何含義呢？我們知道實數是可以加減或乘積的，實數表征一個量，即大小，它的運算表示了數量或大小的變化。那向量呢？很明顯向量表
示 2 個量，即大小(長度)和方向，那么向量的加減和數乘其實就是向量大小和方向的變化。
1）加法運算
向量之間的加減運算，就是將一個向量作用於另一個向量上，使其大小和方向發生變化。
設向量 $a = (x_{1},y_{1}),b = (x_{2},y_{2})$。
加法運算是這樣規定的：兩個向量相加就是把這兩個向量相應的坐標相加。
$$c = a + b = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$$
這樣規定會產生什么效果呢？來看一個例子：
兩個向量 $(2,2) + (4,1)$，先對橫坐標進行運算得向量 $(2+4,2) = (6,2)$，再對縱坐標進行運算得結果向量 $(6,2+1) = (6,3)$。
通過每一維坐標的變化，可以發現：通過相應坐標的加減，最終產生的向量就是平行四邊形的對角線段，如上最右一張圖。
可以看出向量 $(4,1)$ 其實是被分解為了向量 $(4,0)$ 和向量 $(0,1)$，這兩個向量和原始向量產生的角度和大小變化相同。
這樣規定向量加法，居然符合平行四邊形法則，更神奇的是，這樣規定也契合物理上力的合成和分解，這里暫且不表。
2）數乘運算
實數 $k$ 與向量 $a$ 的積仍然是一個向量，規定：向量數乘是將數分別與向量相應坐標相乘。
$$k\cdot a = k \cdot (x_{1}, y_{1}) = (k \cdot x_{1}, k \cdot y_{1})$$
這樣規定會產生什么效果呢？
由1）可知，向量加法滿足平行四邊形法則，而向量數乘可以看成若干個自身向量求和，由於夾角為 0，則不會產生方向的變化，只會產生向量大小的變化。
所以，向量數乘可以用來改變向量的長度，通過乘以 $-1$ 可以對向量進行反向。