好久沒更文了，就隨便寫點東西吧，雖然有點水。
所謂「輔助角公式」就是中學數學里面一個平淡無奇的公式：
\( A\cos{t}+B\sin{t} = \sqrt{A^2+B^2} \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)
或
\( A\sin{t} + B\cos{t} = \sqrt{A^2+B^2} \sin(t+\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)
對於這個公式，我們的解釋一般是「提出 \( \sqrt{A^2+B^2} \), 湊出兩角和公式」。
然而這對與幾何迷來說並不能滿意對吧？
現在我們就來談談幾何意義。
如果用復數來解釋倒是很容易，不過那就開掛了。
所以我打算在實數范圍內就把問題說清楚。
剛才的公式里面，我為什么不把變量寫成 \(x\), 而是寫成 \(t\) 呢？
這是因為，從運動的角度來看，可以更好地理解三角函數。
比如說，還有一套三角函數的基本公式叫做誘導公式。
其中有這么一條：
\( \sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos{x} \)
剛學這個公式的時候我就想，正弦一平移就變成了余弦。
這就說明正弦和余弦的函數圖像都是一樣的。
也就是說，正弦和余弦本質上並沒有什么區別。
當時覺得這相當匪夷所思。
后來就明白了。
如果從運動的角度來考慮，假設有一個點以 1 rad/s 沿單位圓（\(x^2+y^2=1\)）做圓周運動，坐標為 \( (\cos{t},\sin{t}) \).
那么，正弦就是這個運動在 y 軸上的投影，余弦就是在 x 軸上的投影。
x 軸和 y 軸只不過是過原點的有向直線中的兩條罷了。
過原點還有無數條有向直線。
因為圓是完美對稱的，所以這些直線其實沒有高低貴賤之分。
如果把這個點投影到每條直線上，
那么每一個投影，都是圓周運動的投影，都是簡諧運動。
這些運動也沒有高低貴賤之分。
只不過初相位不同罷了。
x 軸和 y 軸當然也不例外。
然后我們再回來看輔助角公式。
\( A\cos{t}+B\sin{t} = \sqrt{A^2+B^2} \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)
右邊是一個簡諧運動，那么左邊也是。
這說明左邊也是一個圓周運動的投影。
投影。
想到了什么？
點積。
\( A\cos{t}+B\sin{t} \)
\( = (A,B) \cdot (\cos{t},\sin{t}) \)
\( = \sqrt{A^2+B^2}\cdot\mathrm{proj}((\cos{t},\sin{t}) \rightarrow (A,B)) \)
看看這個式子，再看看下面這張圖，是不是有種恍然大悟的感覺？
\( \arctan{\frac{B}{A}} \) 正是 \( (A,B) \) 與 \(x\) 軸之間的夾角。
所以這個簡諧運動比 \(x\) 軸上的投影慢了 \( \arctan{\frac{B}{A}} \) 個相位。
因此它的表達式就是 \( \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \).
這是表示成余弦。
要表示成正弦也可以。
我們再作一個 \( (B,A) \) 向量。
此時 \( A \sin{t} + B \cos{t} = (B,A) \cdot (\cos{t},\sin{t}) \).
由於 \( (B,A) \) 跟 \( (A,B) \) 是關於直線 \( y=x\) 對稱的，
所以 \( (B,A) \) 和 \(y\) 軸之間的夾角同 \( (A,B) \) 和 \(x\) 軸之間的夾角是相等的，
也就是 \( \arctan{\frac{B}{A}} \).
但是夾角的方向是相反的。
所以這個簡諧運動比 \(y\) 軸上的投影快了 \( \arctan{\frac{B}{A}} \) 這么多。
因此它的表達是就是 \( \sin(t+\arctan{\frac{B}{A}}) \).
最后補充一下，公式中 \(A>0\) 的條件是為了保證 \(\arctan\) 函數能夠返回正確的角度。
（完）