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矩陣的幾何意義，它可以總結為3個容易理解的特性。
變換（Transformations）
你應該已經知道變換（transformation），它將任意3D點的坐標變換到另一個3D點的坐標。下圖你可以看到3個基本變換的例子：
第一個變換只是簡單地將3D空間中的所有點移動到左下方，這種變換叫做平移（translation）。第二個變換是旋轉（rotation），所有點繞一個指定軸旋轉，本例中是繞Z軸旋轉。最后一個基本變換是縮放，所有點的坐標乘以一個特定的數值。我將它們稱為基本變換，是因為你能想象的任何變換都可以用這三個基本變換的組合表示。
下圖你可以看到平移的結果，然后還要進行旋轉：
矩陣的3個特性
特性1：矩陣可以看做一個特殊（但並不復雜）的元素，可以表示上述變換。所以假如你有3個矩陣：Mtrans, Mrot和Mscal，它們分別對應一種變換。
特性2: 如果你將一個矩陣乘以對應的3D點坐標，就可以獲取變換后的點坐標，如下圖所示：
這意味着對任意點，你可以簡單地通過將它的坐標乘以一個矩陣獲取它的投影、旋轉和縮放！
特性3: 如果你將兩個矩陣M1和M2相乘，會獲得一個新矩陣M3。對應這個新矩陣M3的變換即對應前兩個矩陣的變換組合。
第三個特性非常有用。例如上面平移后旋轉的例子中，計算給定點的位置的一個方法是首先計算經過平移矩陣M1的變換，然后將結果乘以M2計算旋轉，這讓你必須為每個點計算2次，由下圖表示：
使用第三個特性，你只需簡單地先計算M1和M2的乘積獲取M3。然后將點乘以矩陣 M3獲取點的平移並旋轉后的坐標！2個矩陣的乘法很快(64次乘法和48次加法)，而變換場景中的所有點要慢得多(每個點16次乘法和12次加法)
矩陣數學
你可以將一個3D點的坐標作為一個矩陣的一列和3行，點和矩陣間的乘法如下定義：
現在你應該知道了所有知識。如你所見，並不是很難。下面舉一個例子。設3D空間有一個坐標為(6,18,9.5)的點。先看一個簡單的例子：我們想將場景變大為2倍，這意味着我們要縮放2倍，一個簡單的縮放矩陣如下所示：
結果是：
在這個例子中，s = 2，所以點的坐標變為(12, 36, 19)。
下面看一下旋轉矩陣，它看起來有點復雜，但記住所有sin和cos實際上就是一個介於-1和+1之間的數值。下面三個矩陣表示繞X,Y和Z軸的旋轉，θ為旋轉角度：
例如將點(10,5,0)繞Z軸旋轉45度，我們的旋轉矩陣如下：
因為pi=3.14對應180度，45度對應pi/4。結果是：
所以當我們將點(10,5,0)旋轉45度，結果是點(10.6065, -3.5355, 0)！幸運的是，DirectX可以為你完成這些運算，但現在我們理解了工作原理。
帶平移的矩陣
如果一個矩陣，你會看到16個數據項，這意味着4行和4列。選擇這種方式是為了讓矩陣也可以表示平移。
要平移一個點，我們需要添加一個數字。使用3x3矩陣，我們只能獲取初始矩陣的倍數。所以在X,Y和Z邊上需要添加一個常數。為了簡單起見，設為1。從現在開始，我們使用4個坐標表示一個3D點。例如，位於(10,5,0)的點的坐標為(10,5,0,1)。
縮放和旋轉矩陣保持不變，但多了一個額外的行和列其值為0，但m44值為1。下圖你可以看到以平移形式的縮放和Y旋轉矩陣：
看起來有點復雜，但現在我們可以定義一個平移矩陣了：
讓我們看一個小例子。如果我們想將點(10,5,0)移動(-8,2,4)。可以這樣做：
結果是(2,7,4)。但這里我仍想強調3個基本特性：
1) 我們有一個矩陣對應每個基本變換
2) 將點的坐標乘以一個矩陣會獲得變換后的坐標
3) 兩個矩陣相乘獲得一個新矩陣，對應變換的組合
如果你理解以上特性，你會注意到第4個坐標沒有幾何意義，它只是讓我們可以定義一個平移矩陣。
你會注意到有時這個常量不是1。事實上，通用規則是只需簡單地將X,Y和 Z 坐標除以第4個坐標，我們將第4個坐標稱之為W坐標。
簡單地說：(20,10,0,2) = (10,5,0,1)，這兩個坐標表示的是同一個3D點(10,5,0)，所以從4個坐標中獲取3D點的簡單規則是：
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