矩陣系列之一 ： 矩陣乘法的意義

一直想去深刻的了解一下矩陣，然而種種原因卻將買回的書箱束之高閣。

今天看到了一個三元數的點（x,y,z）乘一個4x4的矩陣，好奇之下看了一下定義，較為復雜，卻是不理解了，於是重新查了一下矩陣乘法的意義：

 

以下摘抄：

認為函數是有維度的。

可以將  看成是將  軸上的數據映射到了  軸上，這是一個從一維數軸的數據轉換到另一個一維數軸上的對應關系。所以我認為這是一個一維函數。注意：這里將一維數軸看作和直角坐標軸有同等地位的一種坐標軸。

當然，  可以看成是將一個二維數據降成了一維，這里  表示一個二維數據，  表示一個一維數據。換句話說，這樣的映射關系將一條二維信息轉換為了一條一維信息，從幾何角度說是，將一個平面“拍打“成了一條數軸。這個“拍打”（映射關系）我可以把它稱之為“降維打擊”。

我們再看一個比較有意思的，從二維到二維，這個時候你會發現，必須要用到兩個函數即一個方程組才能描述出來

對於這個方程組，我們每給一個  ，都會收獲一個  ，這是一個從二維數據到二維數據的過程，分析一下，會發現，其實  是通過第一個方程的映射關系將二維數據  下降成一維數據獲得的，同樣的，  是通過第二個方程的映射關系將同一個二維數據下降成一維獲得的，然后將獲得的兩個一維數據組合成一個二維數據  .注意到，如果將  看成是直角坐標的一個點，那么  就是一個以  為橫坐標， 以 為縱坐標的坐標系中的一個坐標。也就是講：這個方程組的功能是將一個坐標系中的點轉換到了另一個坐標系中的一個點。我們將這個方程組用矩陣的形式表達出來，也就是

我們看着這個矩陣的形式，再重復一遍意思：將  ,  這個直角坐標系中的點  映射到了另一個以  為橫坐標，  為縱坐標的坐標系中去了。

我們將直角坐標系中的點具象化

這個矩陣形式表示什么意思呢？

顯然，通過上面的討論，這表示將直角坐標系中的點  和  映射到了以  為橫坐標，以  為縱坐標的坐標系中去了，得到對應的兩個點  和  .

進一步對矩陣形式具象化

這個矩陣形式表示什么意思呢？

顯然，這表示將直角坐標系中的點  和  映射到了以  為橫坐標，以  為縱坐標的坐標系中去啦，得到對應的兩個點  和  .

再看一個例子

這表示什么意思呢，顯然是將  和  從三維坐標系  映射到二維坐標系  ，  中去，得到  兩點。注意，這已經將兩個三維數據降維到兩個二維數據了！！！

綜上你會發現矩陣相乘的幾何意義：將一個坐標系中所有的點映射到另一個坐標系中去。

當然，更為抽象的說法是，坐標系變換（即將一個坐標系變換成另一個坐標系，從一個空間轉換到另一個空間）。

 

看完雖然不足以理解最初看到的疑問，但充分理解了一般矩陣乘法的意義！