3D數學提煉總結-向量、矩陣幾何意義

1 向量

1.1 點-向量-二者關系

點：二維、三維空間一個點的坐標，描述位置。如a(a_x, a_y, a_z)

向量：二維、三維空間中向量描述原點到相對於某個點的位移移動，具有方向和長度(大小)屬性。描述位移。如a(a_x, a_y, a_z)

向量大小：|v| = √(a²+b²+c²+…+n²)，表示向量的長度。

向量標准化：v_norm = v/|v| , v不能為零向量，如下圖，對a(a_x, a_y)歸一化運算：

1-1. 歸一化(標准化)

關系：向量描述位移，包括相對位置。點描述位置。把向量比喻為一個箭頭，頭是點，尾是原點，整個向量就是點相對於原點的偏移。

1.2 零向量與負向量

零向量：[0,0,…,0]，是一個沒有位移、沒有方向的向量。加性單位元。

負向量：任何向量都有負向量。-[x, y, z] = [-x, -y, -z]。加性逆元。幾何解釋：改變方向

1.3 向量的加法、減法運算

加法幾何解釋一：三角形法則

1-2. 加法三角形法則

加法幾何解釋二：平行四邊形法則

平移圖1-1中綠色線至a與b的交點(不再移動a)，組成平行四邊形，求半角向量，如下圖：

1-3. 平半角向量

減法幾何解釋：一個點到另一個點的向量。

減法：先把向量轉為負向量再做加法。本職還是加法，繼續使用三角形法則

 

1-4. 右圖對左圖減法的詳細拆解

1.4 標量與向量乘法：

放大k倍：k · a = k · (a_x, a_y, a_z) = (ka_x, ka_y, ka_z) 

縮小k倍： 

1.5 向量與向量乘法-點積

a·b =   ---滿足交換律

點積結果返回標量值.

//unity vector3點積計算
public static float Dot(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return (float) (
        (double) lhs.x * (double) rhs.x +
        (double) lhs.y * (double) rhs.y +
        (double) lhs.z * (double) rhs.z
    );
}

點積的幾何解釋一：角度

點積等於向量大小與向量的夾角：(同一平面)

a·b = |a| |b| cos θ

θ = arccos(a·b / (|a| b|) )

如果a、b是單位向量，則分母為1，簡化：

θ = arccos(a·b)

 

1-5. a、b向量夾角

a·b > 0，θ∈[0°, 90°)

a·b = 0，θ = 90°

a·b > 0，θ∈(90°, 180°]

Unity實際應用方位判斷

//判斷a、b方位。求b在a的前后左右相對位置：
Transform a, b;
Vector3 diffVec  = a.position – b.position;
float front_back = Vector3.Dot(a.position.forward, diffVec);
float left_right = Vector3.Dot(a.position.right, diffVec);
if(front_back > 0) 前方
else 后方
if(left_right > 0) 右方
else 左方

點積的幾何解釋二：投影向量

1-6. 向量投影

V可以拆分：V_⊥是垂直向量，V_||是投影向量

V = V_⊥ + V_||

如何求投影向量V_||？

用三角函數求V_||的模：

帶入計算求得向量V_||

 

最后也可方便求V_⊥

Unity的Vector3.Project分析：

public static Vector3 Project(Vector3 vector, Vector3 onNormal)
{
    //pow(onNormal, 2)
    float num1 = Vector3.Dot(onNormal, onNormal);
    if ((double) num1 < (double) Mathf.Epsilon)
        return Vector3.zero;
    float num2 = Vector3.Dot(vector, onNormal);
    return new Vector3(
        onNormal.x * num2 / num1,
        onNormal.y * num2 / num1,
        onNormal.z * num2 / num1
    );
}

實戰如何用Vector3.Project算出V_||

1-6. 事例

求投影向量和垂直向量，以及投影交點坐標：

    public Transform m_from_p;

    //一般為法線
    public Transform m_to_p;

    //相對於from_p和to_p而言
    public Transform m_origin_p;
    private Vector3  m_projects = Vector3.zero;

    void Update()
    {
        //warning: 要統一坐標空間
        //Vector3 toP_foDirect = m_to_p.InverseTransformDirection(m_from_p.position - m_origin_p.position);
        Vector3 toP_foDirect = m_from_p.position - m_origin_p.position;
        Vector3 toP_toDirect = m_to_p.position - m_origin_p.position;
        //求出投影向量 V_ii
        m_projects           = Vector3.Project(toP_foDirect, toP_toDirect);

        //from到原點連線
        Debug.DrawLine(m_origin_p.position, m_from_p.position, Color.blue);
        //繪制投影向量線
        Debug.DrawLine(m_origin_p.position, m_origin_p.position + m_projects, Color.black);

        //投影點坐標， 對project_P求模可以知道from_p到to_p所在軸的最短距離
        Vector3 project_P    = m_origin_p.position + m_projects;

        //float minDis       = project_P.magnitude;

        //垂直向量
        Vector3 V_T          = project_P - m_from_p.position;

        //繪制垂直向量線
        Debug.DrawLine(m_from_p.position, m_from_p.position + V_T.normalized * 100f, Color.green);
    }

如

果一個向量v在自身投影，就是v·v = v_x² + v_y² + v_z² = |v|²，繼而可以求出v的模

1.6 向量與向量乘法-叉積

向量a與向量b的叉積結果向量n，n垂直於向量a與b組成的平面，可把其看作平面法線。

1-7. 叉乘示意圖

1-8. 叉積計算公式

幾何解釋一：平行四邊形面積

幾何解釋二：順時針和逆時針方向

a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2);

//a x b = (y1 * z2 - y2 * z1, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)
double ans = (y1 * z2 - y2 * z1)+(z1 * x2 - x1 * z2)+( x1 * y2 - y1 * x2)

if(ans>0)
    cout<<"逆時針"<<endl;
if(ans<0)
    cout<<"順時針"<<endl;
if(ans==0)
    cout<<"共線"<<endl;

幾何dot、cross：求點到點的角度

    // 通過 Dot、Cross 結合獲取到 a 到 b， b 到 a 的不同夾角
    private void GetAngle(Vector3 a, Vector3 b)
    {

        /*ab叉積求得時針方向，點積求得*/

        Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);
        float angle = Vector3.Angle(a, b);//只能返回[0°, 180°]

        // b 到 a 的夾角
        float sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized)));
        float signed_angle = angle * sign;

        Debug.Log("b -> a :" + signed_angle);

        // a 到 b 的夾角
        sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(b.normalized, a.normalized)));
        signed_angle = angle * sign;

        Debug.Log("a -> b :" + signed_angle);
    }

shader中叉積計算寫法

//shader中叉積計算寫法

float crossProduct = a.yzx * b.zxy - a.zxy * b.yzx;

2 矩陣

行矩陣

M_1m =

列矩陣

M_1m^T = M_m1

對角矩陣

也是方塊矩陣，行與列相同

除了對角線以外的元素都為0，稱為方塊矩陣

單位矩陣-一種特殊的對角矩陣

默認用 I 表示單位矩陣

對角線元素全為1，其余元素都為0

任何矩陣與單位矩陣相乘，結果任為其本身

轉置矩陣---轉置運算

• M_ij^T = M_ji
• 矩陣的行變為列，列變為行
• (A·B)^T = B^T·A^T，具有反向串接各矩陣

 

逆矩陣

• 必須 為方陣才有逆矩陣行列相等(n=m)
• M ^-1 ·M = I                      // 必須滿足
• (M^-1)^-1 = M                 
• I^-1 = I                          //單位矩陣的逆矩陣= 自身
• (M^T)^-1 = (M^-1)^T             // 轉置矩陣的逆矩陣等於逆矩陣的轉置
• (A·B·C)^-1 = C^-1 ·B^-1·A^-1//反向串接各矩陣

Unity提供了相關的矩陣函數

 

正交矩陣

• M ·M^T = M^T·M = I
• 任何正交矩陣行列式值：|A|= 1或 -1
• 

 

線性變換

縮放、旋轉、平移

縮放：

只需要改變單位矩陣對角線元素值，(其中w分量為1）===> 目標矩陣(行矩陣)·S(q)

 

旋轉：  

平移一： 

平移二：T(p) =

基礎變換矩陣： 

把M_3x3看作縮放旋轉，t_3x1看作平移，1為w分量

將一個矩陣進行縮放、旋轉、平移的復合變換先后順序不一樣，其結果也不一樣。絕大多數情況下都是采用前述順序。

 

矩陣的幾何意義

為了進一步研究多元方程組，將多元方程組的系數組合在一個矩形數表，形成了矩陣。例如把三元方程組轉化為三階矩陣

例如，已知子坐標空間C的3個坐標軸在父坐標空間P下的表示x_c, y_c, z_c，以及其原點位置O_c。當給定一個子坐標空間中的一點A_c = (a,b,c),按照下面4個步驟求出A_c在父坐標空間下的位置。

1從坐標空間原點開始O_c

2向x軸方向移動x個單位：O_c + axc

3向y軸方向移動y個單位：O_c + ax_c + by_c

4向z軸方向移動z個單位：O_c + ax_c + by_{c +} cz_c

A_p = O_c + ax_c +by_c + cz_c

= (x_oc, y_oc ,z_oc) + a(x_xc, y_xc, z_xc) + b(x_yc , y_yc, z_yc) + c(x_zc, y_zc, z_zc)

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc,1) +  

=     //筆誤：O₃₃應該=1

=  

=  

M_A->p =

 

透視投影矩陣：

近裁剪面高度：

遠裁剪面高度：

橫縱比：攝像機的ViewPortRect中的W和H屬性決定着Game視圖橫縱比

計算某一點是否在裁剪區域內，只需將該點與，由觀察空間變換到裁剪空間。

=

注意此時的W分量，可能<0為負數。如果一個點在視錐體內，必須滿足

 

正交投影矩陣

 

近裁剪面高度：

遠裁剪面高度：

橫縱比：

那么將頂點帶入該矩陣相乘：

=

判斷條件如下

法線變換

有M_A->B 頂點變換矩陣, N是法線，T是切線, G是法線變換矩陣

根據點積性質變換前垂直：(T_A)^T·N_A = 0

變換后也應該垂直：(T_A->B)^T·N_A->B = 0

切線公式：T_B = (M_A->B · T_A)^T

切線變換步驟：

T_B · N_B = (M_A->B · T_A)^T ·(G · N_A)

= (T_A)^T ·M_A->B^T·(G · N_A)  = (T_A)^T · N_A ·(M_A->B^T·G)

由於T_A^T·N_A = 0

如果(M_A->B^T·G) = 0，G = (M_A->B^-1)^T

如果M_A->B是正交矩陣，變換包含旋轉和系數k統一縮放，M_A->B的逆轉置矩陣 = (M_A->B^T)^-1 = (M_A->B^-1)^T

如果M_A->B是正交矩陣，變換包含旋轉和系數k統一縮放，則(M_A->_B)^-1=, 簡要推導如下

設M_A->_B = k·M(M為正交矩陣)，

等式左邊：(M_A->_B)^-1=(K·M)^-1 = 1/k · M^-1

等式右邊：1/K² · (K·M)^T = 1/k² · k · M^T = 1/K · M^-1

如果M_A->B是正交矩陣，變換包含旋轉和系數k統一縮放，可得M_A->B的逆轉置矩陣  (M_A->B^T)^-1 =