南京大學2021年春季學期《微分幾何》期末考試
限時2小時。考試時間：2021年6月24日。
一、(10分)平面正則閉曲線相對曲率 \(k_r(s)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-s^2}}\) ，其中 \(s\) 是弧長參數，求平面曲線.
二、(20分)平面正則閉曲線在半徑為 \(r\) 的圓盤內，證明曲線上存在一點 \(p\) 使得 \(|k_r(p)|\ge\dfrac{1}{r}\) .
三、(20分)直線與平面正則閉凸曲線相交，證明有兩個交點或相切，由此證明與該曲線相交的直線(不計重數)集合的測度為弧長.
四、(10分)證明球面正則閉曲線全撓率 \(\dfrac{1}{2\pi}\oint_C\tau(s)ds=0\mod 1\) ，其中 \(s\) 是弧長參數.
五、(20分)證明正則曲面非臍點處主曲率光滑，臍點處主曲率連續.
六、(20分)環面 \(T:x(u,v)=((a+r\cos u)\cos v,(a+r\cos u)\sin v,r\sin u)\) ，其中 \(a>r>0,0\le u,v<2\pi\) ，計算 \(\iint_T KdA\) 和歐拉示性數.
考察相對曲率的定義，設 \(T=\cos\theta e_1+ \sin\theta e_2\) ， \(k_r=\theta'\) .
設 \(\partial D_R,R\le r\) 是包含閉曲線的最小圓周，設參數表示為 \(y\) ，取交點 \(p\) ，二階Taylor展開，注意到曲線和最小圓周共切線，不妨設 \(k_r>0\) ，則 \(2\dfrac{(x-p)\cdot T}{[(x-p)\cdot N]^2}\ge 2\dfrac{(y-p)\cdot T}{[(y-p)\cdot N]^2}\) ，取極限立得 \(k_r\ge\dfrac{1}{R}\ge\dfrac{1}{r}\) .
按交點個數結合凸性和閉曲線分類討論. 折線段 \(\{L_i\}_i\) 逼近曲線，通過剛體運動將中心置於原點，沿 \(e_1\) 放置，直線族 \(L_{\theta,p}:x^1\cos\theta+x^2\sin\theta=p\) 與 \(L_i\) 相交的集合 \(S_i=\left\{(p,\theta)|0\le p\le \dfrac{l_i}{2}|\cos\theta|,0\le\theta<2\pi\right\}\) ，測度 \(\iint_{S_i}dpd\theta=2l_i\) 不隨剛體運動變化，相交直線集合測度 \(2\sum\limits_i l_i=2l\) ，不計重數，忽略相切直線零測集，測度為弧長.
對 \(|x|\equiv R\) 求導，可設 \(x=\cos\theta N+\sin\theta B\) ，求導得 \(\tau=\theta'\) .
若參數表示 \(x(u)\in C^k(U),U\subset\mathbb{R}^2,k\ge 3\) ，則 \(H,K\in C^{k-2}(U)\) ，而 \(k_1,k_2=H\pm\sqrt{H^2-K}\) ，非臍點處 \(H^2>K\) ，故 \(k_1,k_2\in C^{k-2}(U)\) ，臍點處 \(k_1=k_2\in C^0(U)\) .
根據緊致定向閉二維曲面的Gauss-Bonnet公式
事實上由虧格 \(g=1\) 直接得 \(\chi(T)=2(1-g)=0\) .
第二題是Do Carmo教材《曲線和曲面的微分幾何》35頁第5題，參考27頁第14題.第三題參考Do Carmo教材1-7節四頂點定理和Cauchy-Crofton公式的證明.第四題是沈一兵教材《整體微分幾何初步》2.3節球面曲線全撓率的定理2.7的簡單的一半.第五題是陳維桓教材《微分幾何初步》4.4節主方向和主曲率的計算的定理1.
總結
一如既往考察基礎題，但很可惜由於知識點掌握的不熟練，考場上好多題都沒做完整，再一次發揮失常。但是，誰也阻擋不了我對數學的熱愛，當做題的時間拉長的無窮大，一切困難都將被戰勝，加油。