南京大學2021年春季學期《微分幾何》期中考試

每題20分，限時2小時。考試時間：2021年5月13日。

題目有修正。

一、求曲線的曲率、撓率、Frenet標架.

二、正則曲線的切線過定點，證明曲線是直線或直線的一部分.取消正則性條件，結論是否成立?

三、已知曲面 \({\bf x}(u,v)\) 的 \(K,H\) ，設 \(a\in\mathbb{R}\) 且當 \(a\neq0\) 時主曲率不等於 \(\dfrac{1}{a}\) ，求平行曲面 \({\bf y}(u,v)={\bf x}(u,v)+a{\bf n}(u,v)\) 的 \(\bar{K},\bar{H}\) .

四、正則曲面的切面過定點，證明曲面是錐面的一部分.

五、定義測地撓率為測地線的撓率，證明 \(\tau_g=n'\times(T\times n)\) ，證明 \((k_n)^2+(\tau_g)^2-2Hk_n+K=0\) .

前兩題送分，不解釋。

第二題的反例見Do Carmo教材P26的第10題。

第三題至少有五種思路：

(方法一)(原創)計算平行曲面的第一、第二基本形式，取曲率線網，計算主曲率，計算平均曲率和高斯曲率。其中用到了三個基本形式的關系

\[III=2HII−KI \]

如果沒有記住，就需要正確推導。最終結果是

\[\bar{H}=\dfrac{-aK+H}{a^2K-2aH+1},\qquad\bar{K}=\dfrac{K}{a^2K-2aH+1}. \]

(方法二)(陳學長老師提供)根據

\[n_1\times n_2=K x_1\times x_2,\qquad n_1\times x_2+x_1\times n_2=-2Hx_1\times x_2 \]

來計算。

(方法三)(石亞龍老師提供)根據 \(n\perp y_\alpha\) 得 \(n=\bar{n}\) ，根據

\[\bar{W}(a_\alpha^\beta y_\beta)=k_\alpha a_\alpha^\beta x_\beta,\qquad y_\alpha=x_\alpha-aW(x_\alpha),1\le\alpha\le2, \]

在移動標架 \(\{y;y_1,y_2,n\}\) 下計算.

(方法四)(方法五)(改編自方法三)在移動標架 \(\{x;x_1,x_2,n\},\{x;W(a_1^\alpha x_\alpha),W(a_2^\alpha x_\alpha),n\}\) 下計算.

從(方法四)(方法五)中可見(方法一)的核心，即 \(K,H\) 內蘊。原題缺少當 \(a\neq0\) 時主曲率不等於 \(\dfrac{1}{a}\) (全臍)的條件，或者約定 \(a\ll 1\) 。

第四題是第二題的結果直接推廣到曲面。直接計算基本形式，使用曲面論基本定理，是一條思路，但是可能行不通。不妨設定點是原點，考慮錐面的齊次性條件，延拓曲面得到直紋面，利用已知條件立得曲面是錐面或平面。原曲面是去除非正則點（頂點）的局部錐面。思路源於沈一兵教材P14第0.2節習題7，坐標變換補充條件是本題的亮點。原題缺少局部條件。

第五題是沈一兵教材P27第0.4節習題6原題。這個題的難點就是使用行列式表示測地撓率，不易直接觀察出來。原題有P26第0.4節習題1作為引理，證明難度就小了很多。如果考場上忘記了行列式的形式，那么難度會很大。解決方法是直接在曲率線網下進行計算。最后還要注意設 \(T=\cos\theta \dfrac{x_1}{\sqrt{g_{11}}}+\sin\theta \dfrac{x_2}{\sqrt{g_{22}}}\) ，如果沒有 \(\theta\) 參數，那么最后很難建立 \(du^1,du^2\) 的聯系，得到最終結果。

總結

本次期中考試沒有特別難的題，考察的都是基本功。在應試時，在已經做過的習題中尋找解題思路，要比尋找新思路要容易得多。從最終結果來看，說明平時還要多做題。

最后，期末考試加油！