3.3 極大線性無關組以及&向量的秩

定義 1：
向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一個部分組滿足兩個條件：
（1）這個部分組線性無關
（2）從向量組的其余向量（如果存在的話）中任取一個向量添進來，得到的新的部分組都線性相關
稱為這個向量組的一個極大線性無關組。

設向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一個極大線性無關組，不妨設為\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)\((m \leq s)\)
由於\(\alpha_j = 0\alpha_1 + \dots + 0\alpha_{j-1} + 1\alpha_j + 0\alpha_{j+1} + \dots + 0\alpha_s\)
所以極大線性無關組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)中每一個向量，都可以由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出。
反之，\(\alpha_i(1 \leq i \leq m)\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出，而\(\alpha_j(m < i \leq s)\)由於\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m,\alpha_j\)線性相關，因此\(\alpha_j\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。
因此\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每一個向量都可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。

若向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每一個向量都可以由向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。
則稱\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。
如果向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可以相互線性表出，則稱這兩個向量組等價。記作\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)

由上述討論證明了：
命題 1：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與它的任意一個極大線性無關組等價。

向量組的等價具有性質：
（1） 每個向量組與自身等價（反身性）
（2） 若\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)，則\(\{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\cong \{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\)（對稱性）
（3） 若\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)，且\(\{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\cong \{\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\}\)，則\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\cong \{\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\}\)（傳遞性）
證明：只需要證線性表出具有傳遞性。

\[\alpha_i = \sum_{j=1}^ra_{ij}\beta_j,i = 1,2,\dots ,s \\ \beta_j = \sum_{l = 1}^tb_{jl}\gamma_l, j = 1, 2, \dots ,r \\ \begin{aligned} \alpha_i &= \sum_{j=1}^ra_{ij}\sum_{l = 1}^tb_{jl}\gamma_l \\ &= \sum_{j=1}^r(\sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl}\gamma_l) \\ &= \sum_{j=1}^r(\sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl})\gamma_l \end{aligned} \]

從而\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可由\(\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\)線性表出。

由向量組等價的對稱性和傳遞性得：
命題 2：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)任意兩個極大線性無關組等價

引理 1：
設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出，如果\(r > s\)，那么\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)一定線性相關。

證明：由已知，

\[\beta_1 = a_{11}\alpha_1 + \dots + a_{s1}\alpha_s \\ \cdots \\ \beta_r = a_{1r}\alpha_1 + \dots + a_{sr}\alpha_s \]

\[\begin{aligned} x_1\beta_1 + \dots + x_r\beta_r &= x_1(a_{11}\alpha_1 + \dots + a_{s1}\alpha_s) + \dots + x_r(a_{1r}\alpha_1 + \dots + a_{sr}\alpha_s) \\ &= (a_{11}x_1 + \dots a_{1r}x_r)\alpha_1 \\ &+ \dots \\ &+ (a_{s1}x_1 + \dots a_{sr}x_r)\alpha_s \\ \end{aligned} \]

考察齊次線性方程組：

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots a_{1r}x_r = 0 \\ \dots \\ a_{s1}x_1 + \dots a_{sr}x_r = 0 \end{cases} (1) \]

由已知條件，\(s < r\)，因此方程組(1)必有非零解，
取一個非零整數解（\(k_1, k_2, \dots ,k_r\)）有\(k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \dots + k_r\beta_r = 0\)
因此\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性相關。

推論 1：設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出，如果\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性無關，那么\(r \leq s\)

推論 2：等價的線性無關的兩個向量組所含向量的個數相等（\(r \leq s\)，又\(s \leq r\)，因此\(r = s\)）

推論 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數相等。

定義 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意一個極大線性無關組所含向量的個數稱為向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的秩。
只含零向量的向量組的秩規定為\(0\)。
記為：\(rank\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\)

命題 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關\(\Leftrightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)是向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一個極大線性無關組。\(\Leftrightarrow\)\(rank\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} = s\)

命題 4：向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，則\(rank(I) \leq rank(II)\)
證明：取向量組（I）的極大線性無關組（I'），取向量組（II）的極大線性無關組（II'）。
其中（I）與（I'）等價，（II）與（II'）等價。又（I）可以由（II）線性表出，由傳遞性（I'）可以由（II'）線性表出，其中（I'）線性無關。
由命題2的推論1，（I'）的向量個數\(\leq\)（II'）的向量個數，因此\(rank(I) \leq rank(II)\)

推論 4：若兩個向量組等價，那么它們的秩相等。