P12 向量組03--極大線性無關組

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 注解：

• 3向量可以由1向量和2向量表示。

把向量α₁、α₂、α₃組成的矩陣(向量組)看成是一個方程組的系數矩陣。

 

 

 

 

 

 注解：

• 可以看出，方程3可以由方程1和2推得。
• 方程3是多余的方程，是假的方程，可以不要。
• 1、2可以組成最簡方程組，這個最簡方程組的系數矩陣中所包含的向量組就叫做極大線性無關組。

 

 

 

 

 

 

 

 

第2條的注解：

• 去掉的向量可以由最簡向量組線性表示。
• 沒有去掉的向量更加可以由最簡向量組表示，因為沒有去掉的向量組成了最簡向量組，自己當然是可以由自己表示的。
• 綜合以上兩點，向量組中任一向量都可以由最簡向量組表示。

 

 

 

 注解：

• 則稱向量組...是原向量組的一個極大線性無關組。

 

 

 

 

 

注解：

• 向量α₁、α₃也可以組成極大線性無關組。因為它們兩個線性無關，這可以滿足第一條。
• 向量α2可以由向量α1、α₃線性表示，這可以滿足第二條。
  
• 所以α₁、α₃可以組成一個極大線性無關組。

 

 

 

 

 

 注解：

• 問題2和3以問題1為基礎，1解出來了，2、3就知道了。

 

 

注解：

• 為何要做初等行變換，而不是做初等列變換？因為做初等行變換，相當於做方程組的同解變換。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

• 找到了一個極大線性無關組。但是人家要的是β向量組的極大線性無關組，不是β'的極大線性無關組。

 

 注解：

• 互換兩行，一行的k倍加到另一行，這些初等行變換不會改變方程組的解。
• 這個叫矩陣和方程組的同解變換。

 

 

 

注解：

• 經過初等行變換，雖然說矩陣很不一樣了，但是其代表的方程組是同解方程組，未知量並沒有發生任何的變化。

 

 注解：

• 線性組合的系數沒有發生變化，即方程組的解沒有發生變化。

 

 

 

 

 

 注解：

• 如果取了β₁、β₂、β₄作為極大線性無關組，則意味着β₃、β₅可以由前者表示。

 

 

畫成階梯前后的矩陣或者說向量組具有相同的線性相關性，所以，一撇'可以去掉。

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

1. 對於一個向量組（一個小組）內，有多余向量就會相關，無多余向量就是不相關，這是相關無關問題。
2. 多余的向量可以由抽出來的無多余的那一組表示，這是線性表出的問題。
3. 把多余的向量去掉，就得到了一個向量組的一個極大線性無關組。
4. 任何一個小組都是可以由它的極大線性無關組表示的。

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

1. A矩陣第1列第2列互換，然后第1行第2行互換，可以變成B矩陣；
2. 什么叫矩陣等價？是指A矩陣能不能經過初等變換變成B矩陣。如果能經過初等變換變成B矩陣，就說明A、B矩陣等價。

 

 

 

注解：

1. 矩陣等價的時候，列向量組可以不等價；
2. 矩陣等價的時候，列向量組不一定等價；
3. 矩陣等價的時候，行向量組不一定等價；
4. 矩陣的等價和向量組的等價是不同的概念。

 

 注解：

1. 矩陣等價，行向量組等價，列向量組等價。
2. 列向量組可以相互線性表出。
3. 行向量組可以相互線性表出。
4. 矩陣等價是因為左邊的矩陣可以經過兩次初等變換變成右邊的矩陣。

 

注解：

1. 矩陣等價。
2. 列向量組等價。
3. 行向量組不等價。

小結：

1. 兩個矩陣而言，一個矩陣經過初等變換可以變成另一個矩陣，這叫矩陣等價。
2. 兩個向量組可以相互線性表出，這叫向量組等價。
3. 矩陣等價和向量組等價是兩個完全不同的概念。

 

 

 注解：

1. 秩表示向量組內極大線性無關組的個數。
2. 也就是極大線性無關組的成員個數。

 

 

 

 

 

 注解：

1. 2是1的極大線性無關組，4是3的極大線性無關組。
2. 2可以代表1,4可代表3.
3. 1和2等價，3和4等價。
4. 1、3的等價相當於2、4的等價。
5. 1和3的單方表出可以轉化成2和4的單方表出。
6. 比方說，2可以由4單方表出。

 注解：

1. ζ₁、ζ₂...ζ_r可以由μ₁、μ₂...μ_r單方表出，則合起來的秩就是向量組μ₁、μ₂...μ_r的秩r。
2. 既然ζ₁、ζ₂...ζ_r可以由μ₁、μ₂...μ_r單方表出，則前者是多余的向量（可以考慮齊次方程組）。

 

 

 

 

 

 

 

注解：

1. 由於向量組ζ₁、ζ₂...ζ_r是多余的，所以拼起來的秩等於向量組μ₁、μ₂...μ_r的秩r。
2. μ₁、μ₂...μ_r是極大無關組，向量組中向量的個數就是秩。

向量組ζ₁、ζ₂...ζ_r也是極大線性無關組，其秩也是向量組的個數r，它等於整體的秩r.站在ζ₁、ζ₂...ζ_r的角度考慮，μ₁、μ₂...μ_r是多余的向量組，所以μ₁、μ₂...μ_r也可以由向量組ζ₁、ζ₂...ζ_r表示了。所以，他們可以相互線性表示，2和4可以相互表示，意味着1和3也可以相互表示。於是，三秩相同。

 

 

 

 

（三秩相同）

 

 

 

注解

1. 單方表出，相當於是被表出的那一方向ζ₁、ζ₂...ζ_r是多余的向量.
2. 所以，對於兩個向量組而言，三秩相等，必等價。等價，必有三秩相等。是充要條件。

 習題：

 

 

 

 注解：

1. 求一個矩陣的秩的時候，可做行變換，也可做列變化，也可做行變換和列變換的混合變換。

 

 注解：

1. 求極大無關組的時候，只做初等行變換，因為這樣才是相當於做方程組的同解變換。

第一問：

 

 

 

 第二問：

 

 注解：

1. r(A)=r(B),可以推出A矩陣和B矩陣等價。
2. r(A)=r(B)=r(A|B),可以推出A矩陣所包含的向量組和B矩陣所包含的向量組等價。