P11 第3講 向量組02

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 注解：

1. A:線性無關的充要條件是不存在不全為0的數，使得。或者：任一向量都不能由其它向量線性表示，這才能說明線性無關。思路：考慮其逆否命題。
2. B:錯誤。如果a1=[1,2,3],a_s=[2,4,6],k2到k_s-1都是零，則后者能由前者表示。
3. C:只要有一個向量能由其余向量線性標出，就能說明線性相關了。所以，錯誤。
4. D:正確。

 

 注解：

1. 零向量和任何向量都線性相關，因為零向量可以由任何向量線性表示，只要后者乘以0就行了。
2. 零可以由非零表示，非零不可以由零表示。
3. 被表示，不需要討論系數是不是零。

 

 

 

 

答：不可以。因為非零向量不可以由零向量線性表示。

 

 

 

 

 1不可能由k₁倍的0+k₂倍的0表示出來。

 

 

這個情況下，α1和α3表示α2也是不行的。

 

 

 D項的分析：用逆否命題分析，

 根據判別相關性的七大定理之定理2，立即得出α_s可以由α₁...α_s-1線性標出。所以假設線性無關是錯誤的，只能相關。

 定理3的逆否命題：

 

 

 

 

 

注解：

1. 向量組α₁,α₂...α_m線性相關意味着向量組前面的系數x₁,x₂...x_{m不全為0，那么向量x就是非零向量，即方程組存在非零解。}

定理4的證明：

 

 

 

 

 注解：

1. n是維數，m是向量個數。
2. n代表方程的個數，也是約束條件的個數。
3. m代表未知數個數，也是自由度。

 

 

 

注解：

1. n<m，可以是2個方程，3個未知數，代表約束數量少於自由度，必有自由的變量，自由的變量可以取任何值，當然可以取非零值，所以必有非零解。

舉例：

 

 注解：

1. 相當於3維空間中的3個2維向量，必然是線性相關的。因為這3個2維向量，一定位於同一個平面內，在同一個平面內的向量必定是線性相關的。因為不共線的兩個向量是可以表示整個平面的，所以當然不共線的2個向量可以表示第3個向量。

 

 

 注解：

1. |A|=0，等價於線性相關。
2. |A|≠0，等價於線性無關。

 

 注解：

方程的個數多於未知數的個數的時候，結論是不確定的，此時要看獨立方程的個數是多少。如果獨立方程的個數等於未知數的個數，就是情況2，如果獨立方程的個數少於未知數的個數，就是情況1.

 

注解：

1.  化階梯，就是看矩陣的秩是多少，相當於看有多少個獨立方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原來無關，延長無關的解釋：4個方程，4個未知數，行列式不等於0，只有零解。自由度是0了，延長向量的長度，相當於增加對自由度的約束，原來已經被約束死，現在又增加約束，更是只有零解了，所以還是無關。

原來相關，縮短相關的解釋：原來相關，說明方程個數少於未知數個數，即約束條件數量少於自由度，現在去掉一些方程，自由度更大，所以更有非零解，所以更加相關。

 

 

 

 

注解：

1. 向量組的線型組合轉換為標准的向量組乘以系數。

因為4個4維列向量α1,α2,α3,α4線性無關，所以有：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

• 范德蒙行列式盯着第2行。

 

 

 

注解：

• 情形3：未知數個數少，方程數多，未知數的系數矩陣是長方形的。

 

 注解：

• 從s個n維列向量中截圖s個s維列向量。
• 截取部分的行列式必然不等於0.

 

 注解：

• 部分無關，則整體也無關。
• 向量組原來無關，延長也無關。
• 考慮2維平面中的兩個不共線的向量線性無關，則把它們的一頭抬高放在3維空間里面，還是不能相互表示的。