P11 第3讲 向量组02

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 注解：

1. A:线性无关的充要条件是不存在不全为0的数，使得。或者：任一向量都不能由其它向量线性表示，这才能说明线性无关。思路：考虑其逆否命题。
2. B:错误。如果a1=[1,2,3],a_s=[2,4,6],k2到k_s-1都是零，则后者能由前者表示。
3. C:只要有一个向量能由其余向量线性标出，就能说明线性相关了。所以，错误。
4. D:正确。

 

 注解：

1. 零向量和任何向量都线性相关，因为零向量可以由任何向量线性表示，只要后者乘以0就行了。
2. 零可以由非零表示，非零不可以由零表示。
3. 被表示，不需要讨论系数是不是零。

 

 

 

 

答：不可以。因为非零向量不可以由零向量线性表示。

 

 

 

 

 1不可能由k₁倍的0+k₂倍的0表示出来。

 

 

这个情况下，α1和α3表示α2也是不行的。

 

 

 D项的分析：用逆否命题分析，

 根据判别相关性的七大定理之定理2，立即得出α_s可以由α₁...α_s-1线性标出。所以假设线性无关是错误的，只能相关。

 定理3的逆否命题：

 

 

 

 

 

注解：

1. 向量组α₁,α₂...α_m线性相关意味着向量组前面的系数x₁,x₂...x_{m不全为0，那么向量x就是非零向量，即方程组存在非零解。}

定理4的证明：

 

 

 

 

 注解：

1. n是维数，m是向量个数。
2. n代表方程的个数，也是约束条件的个数。
3. m代表未知数个数，也是自由度。

 

 

 

注解：

1. n<m，可以是2个方程，3个未知数，代表约束数量少于自由度，必有自由的变量，自由的变量可以取任何值，当然可以取非零值，所以必有非零解。

举例：

 

 注解：

1. 相当于3维空间中的3个2维向量，必然是线性相关的。因为这3个2维向量，一定位于同一个平面内，在同一个平面内的向量必定是线性相关的。因为不共线的两个向量是可以表示整个平面的，所以当然不共线的2个向量可以表示第3个向量。

 

 

 注解：

1. |A|=0，等价于线性相关。
2. |A|≠0，等价于线性无关。

 

 注解：

方程的个数多于未知数的个数的时候，结论是不确定的，此时要看独立方程的个数是多少。如果独立方程的个数等于未知数的个数，就是情况2，如果独立方程的个数少于未知数的个数，就是情况1.

 

注解：

1.  化阶梯，就是看矩阵的秩是多少，相当于看有多少个独立方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原来无关，延长无关的解释：4个方程，4个未知数，行列式不等于0，只有零解。自由度是0了，延长向量的长度，相当于增加对自由度的约束，原来已经被约束死，现在又增加约束，更是只有零解了，所以还是无关。

原来相关，缩短相关的解释：原来相关，说明方程个数少于未知数个数，即约束条件数量少于自由度，现在去掉一些方程，自由度更大，所以更有非零解，所以更加相关。

 

 

 

 

注解：

1. 向量组的线型组合转换为标准的向量组乘以系数。

因为4个4维列向量α1,α2,α3,α4线性无关，所以有：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

• 范德蒙行列式盯着第2行。

 

 

 

注解：

• 情形3：未知数个数少，方程数多，未知数的系数矩阵是长方形的。

 

 注解：

• 从s个n维列向量中截图s个s维列向量。
• 截取部分的行列式必然不等于0.

 

 注解：

• 部分无关，则整体也无关。
• 向量组原来无关，延长也无关。
• 考虑2维平面中的两个不共线的向量线性无关，则把它们的一头抬高放在3维空间里面，还是不能相互表示的。