向量組的秩
定義 3.5.1 極大無關組
設在線性空間\(V\)中有一族向量\(S\)（其中可能只有有限個向量，也可能有無限個向量），如果在\(S\)中存在一組向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)適合下列條件：
- \({\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r}\)線性無關；
- 這族向量中的任意一個向量都可以用\({\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r}\)線性表示，
那么稱\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)是向量族\(S\)的極大線性無關組，簡稱極大無關組。
上述定義(2)表示若將\(S\)中任一向量\(\alpha\)加入\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)，則向量組\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha\}\)一定線性相關。
命題 3.5.1 極大無關組的存在性
設\(S\)是有限個向量組成的向量族且至少包含一個非零向量，則\(S\)r的極大無關組一定存在。
引理 3.5.1 向量組間個數關系
設\(A,B\)是\(V\)中兩組向量，\(A\)含有\(r\)個向量，\(B\)含有\(s\)個向量。如果\(A\)中向量線性無關且\(A\)中每個向量均可用\(B\)中向量線性表示，則\(r\le s\)。
引理 3.5.1 的逆否命題用一句話來概括：“多”若可以用“少”來線性表示，則“多”線性相關。
引理 3.5.2 無關組間個數關系
設\(A,B\)都是\(V\)中線性無關的向量組，又\(A\)中任一向量均可用\(B\)中向量線性表示，\(B\)中任一向量也可用\(A\)中向量線性表示，則這兩組向量所含的向量個數相等。
定理 3.5.1 向量族的極大無關組向量個數相等
設\(A,B\)都是向量族\(S\)的極大線性無關組，則\(A,B\)所含的向量個數相等。
定義 3.5.2 向量族的秩
向量族\(S\)的極大無關組所含的向量個數稱為\(S\)的秩，記做\(rank(S)\)或\(r(S)\)。
定義 3.5.3 向量組等價
若向量組\(A\)和\(B\)可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。
定理 3.5.2 等價的向量組有相同的秩
定義 3.5.4 基
設\(V\)是數域\(K\)上的線性空間，若在\(V\)中存在線性無關的向量\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)，使得\(V\)中任一向量均可表示為這組向量的線性組合，則稱\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一組基，線性空間\(V\)稱為\(n\)維線性空間（具有維數\(n\)）。如果不存在有限個向量組成 \(V\)的一組基，則稱\(V\)是無限維向量空間。
注：對任一無限維線性空間，也有基的概念。無限維線性空間的存在性證明超出了高等代數的范圍。
推論 3.5.1 n維線性空間\(V\)中任一超過\(n\)個向量的向量組必線性相關
定理 3.5.3 基的形式
設\(V\)是\(n\)維線性空間，\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)中的\(n\)個向量。若它們適合下列條件之一，則\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一組基：
- \({e_1,e_2,\cdots,e_n}\)線性無關；
- \(V\)中任一向量均可由\({e_1,e_2,\cdots,e_n}\)線性表示。
定理 3.5.4 基的組成
設\(V\)是\(n\)維線性空間，\({v_1,v_2,\cdots,v_m}\)是\(V\)中的\(m(m<n)\)個線性無關的向量，又假定\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一組基，則必可在\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)中選出\(n-m\)個向量，使之的\({v_1,v_2,\cdots,v_m}\)一起組成\(V\)的一組基。