3.3 极大线性无关组以及&向量的秩

定义 1：
向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一个部分组满足两个条件：
（1）这个部分组线性无关
（2）从向量组的其余向量（如果存在的话）中任取一个向量添进来，得到的新的部分组都线性相关
称为这个向量组的一个极大线性无关组。

设向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一个极大线性无关组，不妨设为\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)\((m \leq s)\)
由于\(\alpha_j = 0\alpha_1 + \dots + 0\alpha_{j-1} + 1\alpha_j + 0\alpha_{j+1} + \dots + 0\alpha_s\)
所以极大线性无关组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)中每一个向量，都可以由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出。
反之，\(\alpha_i(1 \leq i \leq m)\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)线性表出，而\(\alpha_j(m < i \leq s)\)由于\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m,\alpha_j\)线性相关，因此\(\alpha_j\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)线性表出。
因此\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每一个向量都可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)线性表出。

若向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每一个向量都可以由向量组\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)线性表出。
则称\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)线性表出。
如果向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)与向量组\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可以相互线性表出，则称这两个向量组等价。记作\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)

由上述讨论证明了：
命题 1：向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)与它的任意一个极大线性无关组等价。

向量组的等价具有性质：
（1） 每个向量组与自身等价（反身性）
（2） 若\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)，则\(\{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\cong \{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\)（对称性）
（3） 若\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\)，且\(\{\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\}\cong \{\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\}\)，则\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\cong \{\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\}\)（传递性）
证明：只需要证线性表出具有传递性。

\[\alpha_i = \sum_{j=1}^ra_{ij}\beta_j,i = 1,2,\dots ,s \\ \beta_j = \sum_{l = 1}^tb_{jl}\gamma_l, j = 1, 2, \dots ,r \\ \begin{aligned} \alpha_i &= \sum_{j=1}^ra_{ij}\sum_{l = 1}^tb_{jl}\gamma_l \\ &= \sum_{j=1}^r(\sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl}\gamma_l) \\ &= \sum_{j=1}^r(\sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl})\gamma_l \end{aligned} \]

从而\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可由\(\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\)线性表出。

由向量组等价的对称性和传递性得：
命题 2：向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)任意两个极大线性无关组等价

引理 1：
设向量组\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出，如果\(r > s\)，那么\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)一定线性相关。

证明：由已知，

\[\beta_1 = a_{11}\alpha_1 + \dots + a_{s1}\alpha_s \\ \cdots \\ \beta_r = a_{1r}\alpha_1 + \dots + a_{sr}\alpha_s \]

\[\begin{aligned} x_1\beta_1 + \dots + x_r\beta_r &= x_1(a_{11}\alpha_1 + \dots + a_{s1}\alpha_s) + \dots + x_r(a_{1r}\alpha_1 + \dots + a_{sr}\alpha_s) \\ &= (a_{11}x_1 + \dots a_{1r}x_r)\alpha_1 \\ &+ \dots \\ &+ (a_{s1}x_1 + \dots a_{sr}x_r)\alpha_s \\ \end{aligned} \]

考察齐次线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots a_{1r}x_r = 0 \\ \dots \\ a_{s1}x_1 + \dots a_{sr}x_r = 0 \end{cases} (1) \]

由已知条件，\(s < r\)，因此方程组(1)必有非零解，
取一个非零整数解（\(k_1, k_2, \dots ,k_r\)）有\(k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \dots + k_r\beta_r = 0\)
因此\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)线性相关。

推论 1：设向量组\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出，如果\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)线性无关，那么\(r \leq s\)

推论 2：等价的线性无关的两个向量组所含向量的个数相等（\(r \leq s\)，又\(s \leq r\)，因此\(r = s\)）

推论 3：向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

定义 3：向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的秩。
只含零向量的向量组的秩规定为\(0\)。
记为：\(rank\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\}\)

命题 3：向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关\(\Leftrightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)是向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。\(\Leftrightarrow\)\(rank\{\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\} = s\)

命题 4：向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，则\(rank(I) \leq rank(II)\)
证明：取向量组（I）的极大线性无关组（I'），取向量组（II）的极大线性无关组（II'）。
其中（I）与（I'）等价，（II）与（II'）等价。又（I）可以由（II）线性表出，由传递性（I'）可以由（II'）线性表出，其中（I'）线性无关。
由命题2的推论1，（I'）的向量个数\(\leq\)（II'）的向量个数，因此\(rank(I) \leq rank(II)\)

推论 4：若两个向量组等价，那么它们的秩相等。