歐幾里得空間，希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函數空間。函數空間 = 元素 + 規則 ，即一個函數空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函數空間的定義首先得從距離，范數，內積，完備性等基本概念說起。
1、度量空間：定義了距離的空間。
具體的距離：實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離， 函數距離、 曲面距離、折線距離等等。
距離就是一個抽象的概念，其定義為：
設X是任一非空集，對X中任意兩點x,y，有一實數d(x,y)與之對應且滿足：
1. d(x,y) ≥0，且d(x,y)=0當且僅當x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。歐幾里
稱d(x,y)為X中的一個距離。
2、線性空間、向量空間
定義了距離后，我們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而形成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間。
3、賦范空間
定義了范數，是絕對值（形式|a-b|）的延伸，是對向量、函數和矩陣定義的一種距離度量形式，如距離D(a,b)=||a−b||。
在向量空間中，我們定義了范數的概念，表示某點到空間零點的距離：
1. ||x|| ≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤||x||+||y||。
將范數與距離比較，可知，范數比距離多了一個條件2，數乘的運算，表明其是一個強化了的距離概念。范數與距離的關系可以類似理解為與紅富士蘋果與蘋果的關系。
接下來對范數和距離進行擴展，形成如下：
范數的集合⟶ 賦范空間 +線性結構⟶線性賦范空間
距離的集合⟶ 度量空間 +線性結構⟶線性度量空間
4、內積空間、歐氏空間
下面在已經構成的線性賦范空間上繼續擴展，添加內積運算，使空間中有角的概念，形成如下：
線性賦范空間+內積運算⟶ 內積空間；
這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是我們熟悉的歐氏空間。
什么是歐幾里得空間？
古希臘數學家歐幾里得創建了距離和角之間聯系的法則——歐幾里得幾何，由二維平面幾何可擴展成三維，再到有限維度抽象幾何空間，稱為歐幾里得空間。其中維度是描述空間內一個點所需參量的個數——坐標數，例如三維空間中的點a=(x1,x2,x3)。
若把人的活動約束在學校，那么就是學校空間，同理，對點和幾何結構進行各種約束，就構成了不同的數學空間。
至此，在各種約束條件下，有限維度+度量+線性+范數+內積=歐幾里得空間。看似復雜的定義，其實就是一種約束的空間。
5、希爾伯特空間
繼續在內積空間上擴展，使得內積空間滿足完備性，形成希爾伯特空間如下：
內積空間+完備性⟶ 希爾伯特空間
當歐幾里德空間不再局限於有限維，就是希爾伯特空間——無限維度完備線性內積空間。完備指的是，空間中的極限運算衍生的所有可能點都包含於空間本身——柯西序列等價於收斂序列，簡言之，合理即存在。
無限維度的向量（x1,x2,x3...xn）意味着有任意個獨立坐標，可以用函數表達，兩個無限維度的向量的內積等價於兩個函數的積分。例如傅里葉變換，一種頻率函數對應一個坐標，時域中每個點都可以在頻域中展開成各種頻率的函數。如此一來，歐幾里得空間就演變成希爾伯特空間。
6、巴拿赫空間
此外，前面提到的賦范空間，使其滿足完備性，擴展形成巴拿赫空間如下：
賦范空間+完備性⟶ 巴拿赫空間
以上均是在距離的概念上進行添加約束形成的，遞增關系如下：
距離⟶范數⟶內積 向量空間+范數⟶ 賦范空間+線性結構⟶線性賦范空間+內積運算⟶內積空間+完備性⟶希爾伯特空間 內積空間+有限維⟶歐幾里德空間 賦范空間+完備性⟶巴拿赫空間順便提以下，對距離進行弱化，保留距離的極限和連續概念，就形成拓撲的概念。
參考：https://blog.csdn.net/weixin_36811328/article/details/81207753&希爾伯特空間，數學空間的神秘之地