希爾伯特變換的物理意義

作者：王贇 Maigo
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希爾伯特變換的物理意義十分簡單： 把信號的所有頻率分量的相位推遲90度。
也就是說，如果原信號可以表示成 ，
則經過希爾伯特變換后的信號為 。
這一點通過希爾伯特變換的頻域形式很容易看出來：
，其中

當然，我知道題主最感興趣的是：把相位推遲90度有什么用？
答案是： 希爾伯特變換可以用來做解調器，調幅、調頻都能解。

如圖，藍色是一個調制信號 ，其幅度、頻率都經過了調制。
綠色是藍色信號的希爾伯特變換 。由於調制波的幅度和瞬時頻率變化都很慢（與載波頻率相比），其頻率成分比較單一（都集中在載波頻率附近），所以希爾伯特變換的效果——相位推遲90度——是很明顯的。
現在構造信號 ，我們想辦法把這個信號在三維空間中畫出來。
下面這張圖中有三個軸：時間軸、實軸、虛軸。
時間軸和實軸構成的平面上畫出了 （藍色），
時間軸和虛軸構成的平面上畫出了 （綠色），
三維空間中畫出了 （紅色）。
可以看出， 的樣子就像一根粗細、疏密都在變化的彈簧。
在任意一個時刻，我們都可以讀出 的瞬時幅度和瞬時相位：
瞬時幅度為 ，瞬時相位的正切值為 。
而瞬時相位對時間的導數就是瞬時頻率。

這樣，我們就利用希爾伯特變換從一個幅度、頻率均被調制的調制波中把幅度、頻率都解調了出來。

當然，實際的解調器中並不是這么做的，一個重要的原因就是 希爾伯特變換不是因果的，不能實時解調。