離散希爾伯特變換

一般情況下，我們需要有關幅度和相位（或實部和虛部）在(-PI, PI]上的全部信息才能完整描述一個序列的傅里葉變換特性；但在特定情況下，有可能不需要這些全部的信息。

1. 因果實序列

因果實序列可以從它的偶對稱分量（ (x[n] + x[-n]) / 2 ）恢復出來；而偶對稱序列的傅里葉變換只有實數分量。因此，因果實序列只需要其傅里葉變換的實數部分（對應該序列的偶對稱分量）就可以完全描述。當已知因果實序列的傅里葉變換X_R，可以通過X_R和cot(ω/2)的卷積積分（可能需要乘上一個負的系數）求得X_I。這樣，由於一個物理可實現系統的沖擊響應是因果函數，因此其傳遞函數是一個解析函數（傳遞函數的實部和虛部滿足希爾伯特變換關系）。

2. 有限長實序列

有限長序列具有離散傅里葉變換，可以使用FFT從X_R計算X_I。

3. 幅度與相位的關系

 在最小相位條件下，幅度和相位之間具有確定的關系，且復倒譜是因果的。

（復倒譜：（log|X|+jarg[X]）的傅里葉反變換，可以將時域卷積關系變換為時域相加關系：）　 

X₁(ω)=DFT[x₁(n)]

X₂(ω)=DFT[x₂(n)]

X(ω)=DFT[x(n)]=DFT[x₁(n)*x₂(n)]=X₁(ω)X₂(ω)

x^{^}(n)=IDFT｛log[X(ω)]｝ 
　　 =IDFT｛log[X₁(ω)]｝＋IDFT｛log[X₂(ω)]｝