歐幾里得空間與希爾伯特空間

歐幾里得空間，希爾伯特空間都屬於函數空間。

函數空間 = 元素 + 規划，即一個函數空間由元素與規則定義。而要明白函數空間的定義得從距離、范數、內積、完備性說起。

 

1.  距離

　　距離包括各個點之間的距離，向量之間的距離，曲線之間的距離，函數之間的距離等。

　　距離用於衡量同一空間不同元素之間的差異，下面是關於距離的屬性：

• 元素之間的距離大於等於0，若距離等於0則為相同元素。
• A到B的距離等於B到A的距離。
• 滿足三角不等式。

 

2. 范數

　　范數在距離的概念上加了零點限制條件。二維平面中范數可以看做平面中的點到零點的距離。

　　擁有距離的空間成為度量空間。擁有范數的空間稱為賦范空間。賦范空間一定是度量空間。

　　總結：元素 χ 的范數 ||χ|| 看作 χ 到零點的距離。　　

 

3. 內積

　　內積在范數的概念上加了角度限制條件。內積空間一定是賦范空間。

　　有限維內積空間是歐幾里得空間。

 

4. 完備性

　　集合中的元素取極限不超出此空間稱其具有完備性。

　　例如：有理數組成的一個集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合極限為√2​，而√2​是無理數，不是有理數，即有理數不具備完備性。

 

線性完備內積空間稱希爾伯特空間（不在局限於有限維，還具有完備性）。

有限維線性內積空間稱歐幾里得空間。

 

 

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