希爾伯特空間是老希在解決無窮維線性方程組時提出的概念, 原來的線性代數理論都是基於有限維歐幾里得空間的, 無法適用, 這迫使老希去思考無窮維歐幾里得空間, 也就是無窮序列空間的性質。
大家知道, 在一個歐幾里得空間R^n上,所有的點可以寫成為:X=(x1,x2, x3,....xn). 那么類似的, 在一個無窮維歐幾里得空間上點就是:X=(x1, x2, x3,....xn,.....), 一個點的序列.
歐氏空間上有兩個重要的性質,一是每個點都有一個范數(絕對值,或者說是一個點到原點的距離),||X||^2=∑xn^2, 可是這一重要性質在無窮維時被破壞了: 對於無窮多個xn,
∑xn^2可以不存在(為無窮大). 於是希爾伯特將所有∑xn^2為有限的點做成一個子空間,並賦以 X*X'=∑xn*xn' 作為兩點的內積. 這個空間我們現在叫做 l^2, 平方可和數列空間,這是最早的希爾伯特空間了.