鏈接：https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/28403912
既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須給集合賦予一些“結構”（從一些具體問題抽象出來的結構）。
從數學的本質來看，最基本的集合有兩類：線性空間（有線性結構的集合）、度量空間（有度量結構的集合）。
對線性空間而言，主要研究集合的描述，直觀地說就是如何清楚地告訴地別人這個集合是什么樣子。為了描述清楚，就引入了基（相當於三維空間中的坐標系）的概念，所以對於一個線性空間來說，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在給定基下的坐標即可。
但線性空間中的元素沒有“長度”（相當於三維空間中線段的長度），為了量化線性空間中的元素，所以又在線性空間引入特殊的“長度”，即范數。賦予了范數的線性空間即稱為賦犯線性空間。
但賦范線性空間中兩個元素之間沒有角度的概念，為了解決該問題，所以在線性空間中又引入了內積的概念。
因為有度量，所以可以在度量空間、賦范線性空間以及內積空間中引入極限，但抽象空間中的極限與實數上的極限有一個很大的不同就是，極限點可能不在原來給定的集合中，所以又引入了完備的概念，完備的內積空間就稱為Hilbert空間。
這幾個空間之間的關系是：
線性空間與度量空間是兩個不同的概念，沒有交集。
賦范線性空間就是賦予了范數的線性空間，也是度量空間（具有線性結構的度量空間）
內積空間是賦范線性空間
希爾伯特空間就是完備的內積空間。
鏈接：https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/184073198
希爾伯特空間名字聽上去似乎很難理解，但是真正弄明白其與線性空間之間的關系就會發現並沒有那么難。
我們一般接觸的是線性空間（向量空間） ，首先看線性空間和各種空間之間的關系：
1.線性空間（向量空間） 線性空間又稱作向量空間，關注的是向量的位置，對於一個線性空間，知道基（相當於三維空間中的坐標系）便可確定空間中元素的坐標（即位置）；線性空間只定義了加法和數乘運算。
如果我們想知道向量的長度怎么辦？—-定義范數，引入賦范線性空間
2.賦范線性空間
定義了范數的線性空間！！
如果我們想知道向量的夾角怎么辦？—-定義內積，引入內積空間
3.內積空間
定義了內積的線性空間！！
4.歐式空間
定義了內積的有限維實線性空間！！
如果我們想研究收斂性（極限）怎么辦？—-定義完備
5.Banach空間
完備的賦范線性空間！！！
6.Hilbert空間
完備的內積空間！！！（極限運算中不能跑出度量的范圍）
他們之間的關系可以用下圖表示：
舉個簡單的類比例子：我們知道水果是個很大的類別，在水果的基礎上加一個限定，如紅色的水果，那么想到的可能有蘋果、櫻桃等，如果在蘋果、櫻桃兩類水果上再加一個限定，例如果實較大，那么想到的便是蘋果。 這里水果可以看成線性空間，紅色的水果可以看成賦范線性空間，果實較大的紅色水果可以看出內積空間。 Hilbert空間便是在線性空間的基礎上加入了幾個約束或者限定條件！
的回答很好理解，可以參見！
第二點，希爾伯特空間是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。
這一點博客柯西序列可以幫助理解。
內積------->距離-------->柯西列
第三點， 希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。
待填充。。。
再生核希爾伯特空間：
為什么要用核？ （核-------->核本質是一個函數）
SVM -支持向量機原理詳解與實踐之三
高斯核函數的解釋？
SVM中，高斯核為什么會把原始維度映射到無窮多維？ - 知乎SVM分類器會用到內積的形式，但不是每個分類器都會用到內積吧，那這樣是不是核函數不是很通用呢？
code？？？？？
再生核Hilbert空間 - pi9nc的專欄 - 博客頻道 - CSDN.NET