度量空間

度量空間在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。

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如果對於集合的元素，定義任何兩個元素之間有距離，那么這個集合就是度量空間。這個距離的具體定義是：距離是一個實函數，其自變量就是集合中的任意兩個元素，那么這個實函數定義的時候並不給出具體公式，而是給出實函數滿足的性質，就是非負性，三角不等式，兩個元素相等的時候，距離為0，也就這3個性質。

只要滿足上面3個性質的任何實函數都是度量空間的距離，因此定義不同的距離，對應不同的度量空間。我們特別關注三角不等式 。可以看出任何距離都是兩個元素的實函數，至於這些元素具體是什么，並不考慮；其次這個不等式對於集合中的任何兩個元素都成立。還有一個特別指出，一旦集合中定義了距離就是度量空間了，而一旦是度量空間，那么其中的元素名稱升級了，可以稱為點了，而度量空間中一些元素的集合稱為點集，這樣一來，怎么感覺度量空間是從實數直線衍生出來的呢？直線上的點集和度量空間的點集類似啊！的確如此，就這么來的，其實實數直線不就是定義了距離的實數集合嘛！下面我們看看賦范線性空間。(鏈接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/42381836)

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距離則是用於表示兩個物體間的遠近，是存在於兩個物體之間的一種關系，我們就可以對集合中的每一對元素指定一個數字，這個數字就代表兩個物體之間的距離。需要注意的是，在現實生活中，距離都是有米、厘米之類的單位，而度量空間中則不存在這些單位，所有的距離都是實數。實際上，距離單位主要是提供了一個比較距離的基准，而實數中的1則天然的可以擔當這個責任。最終，我們可以得到如下對度量空間的定義：

定義一：假設 是一個非空集合，而metric 是一個 的函數，且對於任意的 具有以下性質：

 

1. ，當且僅當 時等號成立；
2. ；
3. 。

即是一個度量空間。

可以看到，第一點保證了任意兩點之間的距離大於等於0，而第二點則保證兩點之間的距離只有一個值，第三點則保證了三角形的兩邊之和大於等於第三條邊。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50118911

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1.距離空間（度量空間）

 

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注意到這里有兩個概念：n維歐幾里得空間，度量

n維歐幾里得空間：我們能直觀地理解3維歐幾里得空間，比如我們知道3維歐氏空間任何一點都能用一個3個實數組成的坐標表示。如果推廣到n維上，就變成了每個點用n個實數的坐標表示。另外，3維歐幾里得空間的度量(距離)也能推廣到n維上。

度量：度量就是距離，但是空間本來沒有距離。比如我構造一個空間A={題主，答主，回復者，知乎管理員}，這個空間一開始就沒有距離的概念。同樣的，我們生活的3維空間一開始也沒有距離的概念，每個點都可以看做孤立的點，整個空間可以看做這些點的集合。
那距離是什么呢？距離是人類加在空間上的一種關系：任意兩個點映射到一個實數。任何滿足條件的這種映射都可以叫距離(正定性，對稱性，三角不等式)。比如對於剛才的空間A，我定義一個距離：同一個人距離等於0，不同人的距離等於1。這就構成了一個有距離的空間(度量空間)。A空間中，以題主為球心，半徑為1的球面就是{答主，回復者，知乎管理員}

那么，n維歐氏空間中兩點的距離是什么呢？和3維的情形一樣：坐標相減，平方和，開根號。反過來，n=3時的球面就和我們通常見到的球面一樣。

https://www.zhihu.com/question/25856533/answer/31574650

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