內積空間

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內積空間

內積的幾何解釋

在數學上，內積空間是增添了一個額外的結構的矢量空間。這個額外的結構叫做內積或標量積。這個增添的結構將一對矢量與一個純量連接起來，允許我們嚴格地談論矢量的“夾角”和“長度”，並進一步談論矢量的正交性。內積空間由歐幾里得空間抽象而來（內積是點積的抽象），這是泛函分析討論的課題。

關於內積空間的例子，請參看希爾伯特空間。

內積空間有時也叫做准希爾伯特空間(pre-Hilbert Space)，因為由內積定義的距離完備化之后就會得到一個希爾伯特空間。

在早期的著作中，內積空間被稱作酉空間，但這個詞現在已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中，“內積空間”常指任意維（可數／不可數）的歐幾里德空間。

定義

下文中的數量域F是實數域或復數域。

域F上的一個內積空間V備有一個正定、非退化以及共軛雙線性形式，稱作內積（F是[[實數域]]時，內積是一個正定、對稱、非退化以及雙線性形式）：

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}$

滿足以下公理：

共軛對稱；

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

這個設定蘊含着 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ 對於所有 $x \in V$ , 因為 $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$ .

(共軛也寫成加星號： $\langle y,x\rangle^{*}$ ，如同共軛轉置。)

對第一個元素是線性算子；

$\forall a\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

由前兩條可以得到：

$\forall b\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

因此 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 實際上是一個半雙線性形式。

非負性：

$\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0.$

(這樣就定義了 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ 對於所有 $x\in V$ 。說明內積是從點積抽象而來。)

非退化：

從V到對偶空間 V*的映射： $x\mapsto \langle x,\cdot\rangle$ 是同構映射。

在有限維的矢量空間中，只需要驗證它是單射。

$\langle x,y\rangle = 0 \; \forall y \in V \,$ 當且僅當 $x = 0 \,$ 。

因此，內積空間是一個 Hermitian形式。

V 滿足可加性：

對所有的 $x, y, z \in V$ ， $\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$ ， $\langle x,y+z\rangle = \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$

如果F是實數域R那么共軛對稱性質就是對稱性。

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

共軛雙線性變成了一般的雙線性。

備注。多數數學家要求內積在第一個參數上是線性的而在第二個參數上是共軛線性的，本文接受這種約定。很多物理學家接受相反的約定。這種改變是非實質性的，但是相反的定義提供了與量子力學中的狄拉克符號更平滑的連接，現在也偶爾被數學家使用。某些作者接受約定 < , > 在第一個分量是線性的而 < | > 在第二個分量上是線性的，盡管不普遍。

選擇R 或 C作為內積空間的基域是有原因的。首先，這個域要包含一個有序關系的子域，否則就無法談論“非負性”，因此它的特征必須是零。這樣就排除了所有的有限域。基礎域必須有額外的結構，比如有顯著的自同構。

在某些情況下，必須考慮非負半定半雙線性形式。這意味着 <x, x> 是只要求非負性，下面會展示如何處理它們。

例子

內積的一個簡單的例子是實數的乘法

$\langle x,y\rangle := xy$

歐幾里德空間Rⁿ和點積構成一個內積空間：

$\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$

Cⁿ 內積的一般形式是:

$\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{y}$

M是一個任意的正定矩陣，x^*是x的共軛轉置。對於實數情況這對應於兩個矢量的方向差異縮放的結果的點積，帶有正縮放因子和正交的縮放方向。除了正交變換之外，它是加權和版本的點積，帶有正的權重。

在希爾伯特空間的文章中有一些內積空間的例子，其中引出自內積的度量生成完備的度量空間。引發不完備度量空間的內積的例子出現在在區間 [a,b] 上連續復數值函數的空間 C[a, b] 上。內積是

$\langle f , g \rangle := \int_a^b \overline{f(t)} g(t) \, dt$

這個空間是不完備的；比如考慮對於區間 [0,1]，函數序列 { f_k }_k 這里的

f_k(t) 是 1 對於 t 在子區間 [0, 1/2]
f_k(t) 是 0 對於 t 在子區間 [1/2 + 1/k, 1]
f_k 仿射於 [1/2, 1/2 + 1/k]

這個序列是不收斂於一個連續函數的柯西序列。

內積空間的范數

從內積空間的內積可以很自然地定義一個范數

$\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.$

由內積的性質可以證明它滿足作為范數的要求。這個范數就是x在內積空間中的“長度”。這個范數和內積滿足:柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式: 對V中元素x、y，

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

證明可以在主條目上找到。

由柯西不等式可以看出內積的幾何解釋：我們可以定義兩個不為零的矢量的夾角為

$\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}.$

其中夾角在區間(−π, +π]上。這與常見的歐幾里德空間的情況相似。接下來我們可以定義正交：兩個不為零的矢量正交當且僅當他們的內積為零（夾角為π / 2）。

我們可以看到||·||的定義使得V成為一個賦范矢量空間，因此也是一個度量空間。最重要的內積空間是對於這個度量完備的空間，叫做希爾伯特空間。每個內積空間V都是某個希爾伯特空間的稠密子集。這個希爾伯特空間可在將V完備化時唯一確定。

平行四邊形法則:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

勾股定理: V中的x、y 正交 <x, y> = 0，當且僅當

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

這兩個等式都可由范數的性質直接得到

用數學歸納法還可以推出:

若x₁, ..., x_n 是兩兩正交的矢量，那么：

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

只要注意到<·,·> 是V × V 到F 連續函數，我們可以進一步將勾股定理推廣為:

Parseval等式: V是完備的內積空間。如果{x_k} 是V的正交列，那么：

$\sum_{i=1}^\infty\|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^\infty x_i\right\|^2,$

假定在左邊的是無窮級數是收斂的。 這個空間的完備性必須確保部分和序列

$S_k = \sum_{i=1}^k x_i$

它容易被證明是收斂的柯西序列。

正交規范序列

在內積空間上的算子

退化內積

內積空間

　　在數學里面，內積空間就是增添了一個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做內積，或標量積，或點積。這個增添的結構允許我們談論向量的角度和長度。內積空間由歐幾里得空間抽象而來，這是泛函分析討論的課題。　　內積空間有時也叫做准希爾伯特空間，因為由內積定義的距離完備化之后就會得到一個希爾伯特空間。　　在早期的著作中，內積空間被稱作酉空間，但這個詞現在已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中，“內積空間”常指任意維（可數/不可數）的歐幾里德空間。

定義

　　下文中的數量域F是實數域或復數域。　　域F上的一個內積空間V備有一個正定、非退化以及共軛雙線性形式，稱作內積（F是實數域時，內積是一個正定、對稱、非退化以及雙線性形式）：　　(·, ·): V×V → F 　　滿足以下公理　　1. ⟨v, v⟩ ≥ 0 and ⟨v, v⟩ = 0 當且僅當v = 0, 　　2. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u,w⟩ 　　3. ⟨u, λv⟩ = λ⟨u, v⟩ 　　4. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩

性質

　　-Cauchy-Schwarz不等式；　　|(x, y)|≦||x||·||y||

應用

　　-定義長度；　　-誘導范數；

內積

中文名稱：內積英文名稱：inner product
定義：(1)平面或空間中的兩個向量的內積。(2)n維向量的內積。
應用學科：大氣科學（一級學科）；動力氣象學（二級學科）

　　內積（inner product），又稱數量積（scalar product）、點積（dot product）　　他是一種矢量運算，但其結果為某一數值，並非向量。　　設矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn] 　　則矢量A和B的內積表示為: 　　A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn 　　A·B = |A| × |B| × cosθ 　　|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2); 　　|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2). 　　其中，|A| 和 |B| 分別是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夾角（θ∈[0,π]）。　　若B為單位向量，即 |B|=1時，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影長度。　　向量A為單位向量時同理。　　　當向量A與B垂直時，A·B=0.

數量積

“內積”重定義至此，關於外代數上的內積，參見內乘。

在數學中，數量積（也稱為標量積、點積、點乘）是接受在實數R上的兩個矢量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標准內積。

定義與例子

兩個矢量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的點積定義為:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

這里的Σ指示總和符號。

例如，兩個三維矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的點積是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3$ 。

使用矩陣乘法並把（縱列）矢量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$ ，

這里的a^T指示矩陣a的轉置。

使用上面的例子，將一個1×3矩陣（就是行矢量）乘以一個3×1矢量得到結果(通過矩陣乘法的優勢得到1×1矩陣也就是標量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$ 。

幾何解釋

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

在歐幾里得空間中，點積可以直觀地定義為

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ ,

這里 |x| 表示x的范數（長度），θ表示兩個矢量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，a和b的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的矢量的點積總是零。若a和b都是單位矢量（長度為1），它們的點積就是它們的夾角的余弦。那么，給定兩個矢量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個矢量投影到第二個矢量上（這里，矢量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然后通過除以它們的標量長度來“標准化”。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於 $\mathbb{R}^n$ ( $n \le 3$ )。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

$\left \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

性質

點積滿足交換律：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$

點積滿足分配律:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

點積是個雙線性算子：

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$

在乘以一個標量的時候點積滿足:

$(c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(后兩個性質從前兩個得出)。

兩個非零矢量a和b是垂直的，當且僅當a·b = 0。

如果b是單位矢量，則點積給出a在方向b上投影的大小，如果方向相反則帶有負號。分解矢量對求矢量的和經常是有用的，比如在力學中計算合力。

不像普通數的乘法服從消去律，如果ab = ac，則b總是等於c除非a零。而對於點積:

如果a·b = a·c並且a ≠ 0:

則根據分配律可以得出: a· (b - c) = 0；進而:

如果a垂直於 (b - c)，則 (b - c) ≠ 0因而b ≠ c；否則b = c。

兩種定義的等價性的證明

從定義

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ .

可以得到定理

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

為了證明后者是一個和前者等價的定義，需要證明后者也可以導出前者。

注意：這個證明采用三維矢量，但可以推廣到n維的情形。

考慮矢量

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} \;$ .

重復使用勾股定理得到

$|\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$ .

而根據第二個定義

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$ ,

所以，矢量v和自身的點積就是其長度的平方。

引理1: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 \;$

現在，考慮兩個從原點出發的矢量a和b，夾角θ。第三個矢量c定義為

$\mathbf{c} \equiv \mathbf{a} - \mathbf{b} \;$ ,

構造以a，b，c為邊的三角形，采用余弦定理，有

$|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \;$ .

根據引理1，用點積代替矢量長度的平方，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ . （1）

同時，根據定義c ≡ a − b，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \;$ ,

根據分配律，得

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \;$ . （2）

連接等式 （1）和 （2）有

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ .

簡化等式即得

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ ,

Q.E.D.

應用

物理學中力學的力做功的問題，經常用到點積計算。

計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。

矢量內積是人工智能領域中的神經網絡技術的數學基礎之一。

此方法被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

參見

矢量積

來自“ http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=數量積&oldid=18922682 ”

向量積

向量積，也被稱為叉積（即交叉乘積）、外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量都垂直。

定義

在右手坐標系中的向量積

兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。叉積可以定義為：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{n}$

在這里θ表示a和b之間的角度（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。而n是一個與a、b所在平面均垂直的單位矢量。

這個定義有個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直於a和b：若n滿足垂直的條件，那么-n也滿足。

“正確”的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標系(i, j, k)的左右手定則。若 (i,j, k)滿足右手定則，則 (a, b, a×b)也滿足右手定則；或者兩者同時滿足左手定則。

一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的， $\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。由於向量的叉積由坐標系確定，所以其結果被稱為偽向量。

性質

幾何意義

叉積的長度 |a × b| 可以解釋成以a和b為邊的平行四邊形的面積。進一步就是說，三重積可以得到以a，b，c為邊的平行六面體的體積。

代數性質

反交換律：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{-b}\times\mathbf{a}$

加法的分配律：

a × (b + c) = a × b + a × c

與標量乘法兼容：

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的R³構成了一個李代數。

兩個非零向量a和b平行，當且僅當a × b = 0

拉格朗日公式

這是一個著名的公式，而且非常有用：

a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）,

可以簡單地記成“BAC - CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分算子不成立。

這里給出一個和梯度相關的一個情形：

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}$

這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 $\Delta = d \partial + \partial d$ 的特殊情形。

另一個有用的拉格朗日恆等式是：

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$ 。

這是一個在四元數代數中范數乘法 |vw| = |v| |w| 的特殊情形。

矩陣形式

給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

則

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]

上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元數a₁i + a₂j + a₃k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉。

高維情形

七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質：

雙線性性：

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

反交換律：

x × y + y × x = 0

同時與x和y垂直：

x· (x × y) = y· (x × y) = 0

拉格朗日恆等式

|x × y|² = |x|² |y|² − (x·y)².

不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

應用

另外，在物理學力學、電磁學、光學和計算機圖形學等理工學科中中，叉積應用十分廣泛。例如力矩、角動量、洛倫茲力等矢量都可以由向量的叉積求解。在進行這些物理量的計算時，往往可以借助右手定則輔助判斷方向。

參見

數量積
右手定則
外代數：叉乘的實質，贗矢量與贗標量

來自“ http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=向量積&oldid=19601126 ”

矢量空間

矢量空間是可以縮放和相加的(叫做矢量的)對象的集合。

矢量空間（或稱線性空間）是現代數學中的一個基本概念。是線性代數研究的基本對象。

矢量空間的一個直觀模型是矢量幾何，幾何上的矢量及相關的運算即矢量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律，已大致地描述了“矢量空間”這個數學概念的直觀形象。

在現代數學中，“矢量”的概念不僅限於此，符合下列公理的任何數學對象都可被當作矢量處理。譬如，實系數多項式的集合在定義適當的運算后構成矢量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算后，也構成矢量空間，研究此類函數矢量空間的數學分支稱為泛函分析。

公理化定義

給定域 F，一個矢量空間是個集合 V 並規定兩個運算：

矢量加法：V × V → V，把 V 中的兩個元素v和w變為 V 中另一個元素，記作 v + w；
標量乘法：F × V → V，把F中的一個元素a 和 V 中的一個元素v變為 V 中的另一個元素，記作a v。

這兩個運算符合下列公理 (對F 中的任意元素 a、b 以及V 中的任意元素 u、v、w)：

矢量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w，
矢量加法交換律：v + w = w + v，
存在矢量加法的單位元：V 里存在一個叫做零矢量的元素，記作0，滿足：∀ v ∈ V , v + 0= v，
矢量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V, 使得 v + w = 0。
標量乘法對矢量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
標量乘法對域加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
標量乘法與標量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
標量乘法有單位元：域 F 的乘法單位元1滿足：∀ v，1 v = v。

前四個公理是說明矢量V在矢量加法中是個交換群，余下的四個公理應用於標量乘法。需要注意的是矢量之間的加法和標量之間的加法是不一樣的，標量與矢量之間的乘法（標量乘法）和兩個標量之間的乘法（域中自帶的乘法）也是不一樣的。

簡而言之，矢量空間是一個F-模。

V 中的元素叫作矢量，而F 中的元素叫作標量。

若F是實數域R，V稱為實數矢量空間.
若F是復數域C，V稱為復數矢量空間.
若F是有限域，V稱為有限域矢量空間
對一般域F，V稱為F-矢量空間

基本性質

以下是一些很容易從矢量空間公理推導出來的特性:

零矢量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 這里 0 是F的加法單位元.
a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.
可加的逆元矢量 v (公理4) 是唯一的. (寫成−v). 這個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標准的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.

例子

最簡單的系數域為域F的矢量空間的例子是F自身。只要定義矢量加法為域中元素的加法，標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當F是實數域 $\mathbb{R}$ 時，可以驗證對 $\mathbb{R}$ 中的任意元素 a、b 以及 $\mathbb{R}$ 中的任意元素 u、v、w，都有：

u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元素存在：實數0滿足：∀ v ∈ $\mathbb{R}$ , v + 0 = v，
逆元素存在：∀v∈ $\mathbb{R}$ , ∃w = -v ∈ $\mathbb{R}$ , 使得 v + w = 0。
標量乘法對矢量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
矢量乘法對標量加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
標量乘法與標量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
標量乘法有單位元： $\mathbb{R}$ 中的乘法單位元，也就是實數1滿足：∀ v，1 v = v。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點都有一個坐標 P(x, y) ，並對應着一個矢量 (x, y) 。所有普通意義上的平面矢量組成了一個空間，記作 $\mathbb{R}^2$ ，因為每個矢量都可以表示為兩個實數構成的有序數組 (x, y) 。可以驗證，對於普通意義上的矢量加法和標量乘法， $\mathbb{R}^2$ 滿足矢量空間的所有公理。實際上，矢量空間是 $\mathbb{R}^2$ 的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間 $\mathbb{R}^n$ 也是矢量空間的例子。其中的矢量表示為 $v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ ，其中的 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 都是實數。定義矢量的加法和標量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$ ， $v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$

可以驗證這也是一個矢量空間。

再考慮所有系數為實數的多項式的集合 $\mathbb{R}[X]$ 。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法， $\mathbb{R}[X]$ 也構成一個矢量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函數的集合 $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 也是矢量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與矢量空間

矢量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

如果 (x_1, y_1, z_1) 和 (x_2, y_2, z_2) 都是解，那么可以驗證它們的“和” (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) 也是一組解，因為：

3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0

(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0

同樣，將一組解乘以一個常數后，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的“矢量加法”和“標量乘法”滿足矢量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個矢量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個矢量空間。

對於齊次線性微分方程，解的集合也構成矢量空間。比如說下面的方程：

$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$

出於和上面類似的理由，方程的兩個解 f_1 和 f_2 的和函數 f_1 + f_2 也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個矢量空間。

子空間基底

如果一個矢量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之后仍然在W之中），那么將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間 {0} 。

給出一個矢量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個矢量集合B，若它的生成集就是矢量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個矢量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個矢量空間V的線性無關子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零矢量空間V，基是V“最小”的生成集。矢量空間的基是對矢量空間的一種刻畫。確定了矢量空間的一組基B之后，空間內的每個矢量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列： $\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$ ，那么空間中的每一個矢量v便可以通過座標系統來呈現：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，矢量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個矢量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如,各種實數矢量空間：R⁰, R¹, R²,R³, …, R^∞, …中， Rⁿ 的維度就是 n。在一個有限維的矢量空間（維度是n）中，確定一組基 $\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$ ，那么所有的矢量都可以用n個標量來表示。比如說，如果某個矢量v表示為：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那么v可以用數組 $v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$ 來表示。這種表示方式稱為矢量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$

可以證明，任意一個n維的 $\mathbf{F}$ -矢量空間和空間 $\mathbf{F}^n$ 有同樣的“構造”。這種關系稱為同構，詳見下一節。

線性映射

給定兩個系數域都是F的矢量空間 V 和 W, 定義由 V 到 W 的線性變換（或稱線性映射）為所有從 V 射到 W 並且它保持矢量加法和標量乘法的運算的函數f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$

所有線性變換的集合記為 $\mathcal{L}(V, W)$ ，這也是一個系數域為F的矢量空間。在確定了 V 和 W 上各自的一組基之后， $\mathcal{L}(V, W)$ 中的線性變換可以通過矩陣來表示。

如果兩個矢量空間 V 和 W 之間的一個線性映射是一一映射，那么這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在 V 和 W 之間存在同構, 那么稱這兩個空間為同構的。如果矢量空間 V 和 W 之間存在同構 $f : \, V \rightarrow W$ ，那么其逆映射 $g : \, W \rightarrow V$ 也存在，並且對所有的 $x \in V, \, y \in W$ ，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

概念化及額外結構

研究矢量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或復數矢量空間加上長度概念（就是范數）則成為賦范矢量空間。
一個實數或復數矢量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
一個矢量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲矢量空間。
一個矢量空間加上雙線性算子（定義為矢量乘法）則成為域代數。

參見

線性代數
空間矢量 - 物理學的矢量

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