代數定義：
設二維空間內有兩個向量
和
，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：
更一般地，n維向量的內積定義如下：
其中兩個維度相同的向量的內積也可以表示為：
幾何定義（只適用於2維和3維空間）：
運算律：
交換律：
分配律：
結合律：
，其中m是實數
公式是很容易理解，但是意義呢？
內積運算將兩個向量映射為一個實數。其計算方式非常容易理解，但是其意義並不明顯。下面我們分析內積的幾何意義。假設A和B是兩個n維向量，我們知道n維向量可以等價表示為n維空間中的一條從原點發射的有向線段，為了簡單起見我們假設A和B均為二維向量，則A=(x1,y1)，B=(x2,y2) 。則在二維平面上A和B可以用兩條發自原點的有向線段表示，見下圖：
好，現在我們從A點向B所在直線引一條垂線。我們知道垂線與B的交點叫做A在B上的投影，再設A與B的夾角是a，則投影的矢量長度為|A|cos(a)，其中
是向量A的模，也就是A線段的標量長度。
注意這里我們專門區分了矢量長度和標量長度，標量長度總是大於等於0，值就是線段的長度；而矢量長度可能為負，其絕對值是線段長度，而符號取決於其方向與標准方向相同或相反。
到這里還是看不出內積和這東西有什么關系，不過如果我們將內積表示為另一種我們熟悉的形式：
現在事情似乎是有點眉目了：A與B的內積等於A到B的投影長度乘以B的模。再進一步，如果我們假設B的模為1，即讓|B|=1|B|=1，那么就變成了：
也就是說，設向量B的模為1，則A與B的內積值等於A向B所在直線投影的矢量長度！這就是內積的一種幾何解釋，也是我們得到的第一個重要結論。在后面的推導中，將反復使用這個結論