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向量積

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本詞條由 “科普中國”科學百科詞條編寫與應用工作項目 審核 。

向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在 向量空間中向量的 二元運算。與 點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個 標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和 計算機圖形學中。

 

 

中文名

向量積

外文名

cross product

別    名

向量積、矢積、叉乘、外積

表達式

a×b

應用學科

數學，物理，力學

領域范圍

解析幾何

目錄

1. 1 基本概念
2. ▪ 表示方法
3. ▪ 定義
4. ▪ 坐標運算
5. ▪ 證明

1. ▪ 與數量積的區別
2. 2 性質
3. ▪ 幾何意義及其運用
4. ▪ 代數規則
5. ▪ 拉格朗日公式

1. ▪ 矩陣形式
2. ▪ 高維情形
3. 3 應用

基本概念

編輯  語音

表示方法

兩個 向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。  [1] 

定義

向量積可以被定義為：

模長：（在這里θ表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。

*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。  [1] 

坐標運算

設

。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則  [1]  ：

a×b=（

）i+（

）j+（

）k，為了幫助記憶，利用三階 行列式，

寫成det

利用三階行列式，寫成det

證明

為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i，j，k。

i，j，k滿足以下特點：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個坐標系。

這三個向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

對於處於i，j，k構成的坐標系中的向量u，v我們可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由於上面的i，j，k三個向量的特點，所以，最后的結果可以簡化為

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。  [1] 

與數量積的區別

注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘）

一定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。  [1] 

向量積（矢積）與數量積（標積）的區別

名稱	標積/內積/數量積/點積	矢積/外積/向量積/叉積
運算式（a，b和c粗體字，表示向量）	a·b=|a||b|·cosθ	a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定則
幾何意義	向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積	c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積
運算結果的區別	標量（常用於物理）/數量（常用於數學）	矢量（常用於物理）/向量（常用於數學）

性質

編輯  語音

幾何意義及其運用

叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a，b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。  [1] 

代數規則

1、反交換律：a×b=-b×a

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、與 標量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不滿足結合律，但滿足 雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

5、分配律， 線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。

6、兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。  [1] 

拉格朗日公式

證明過程

這是一個著名的公式，而且非常有用：

（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）

a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）

證明過程如下：

二重向量叉乘化簡公式及證明

可以簡單地記成“BAC-CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對 微分 算子不成立。

這里給出一個和 梯度相關的一個情形：

這是一個霍奇 拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一個有用的 拉格朗日恆等式是：

這是一個在 四元數代數中 范數乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。  [2] 

矩陣形式

給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i×j =k；

j×k=i；

k×i=j；

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；

b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；

則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的 叉積滿足四元數的 乘法。一般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看 四元數（空間旋轉）。  [2] 

高維情形

七維向量的叉積可以通過 八元數得到，與上述的 四元數方法相同。

七維叉積具有與 三維叉積相似的性質：

雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；

反交換律：x×y+y×x=0；

同時與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；

拉格朗日恆等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²；

不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。  [2] 

應用

編輯  語音

在物理學光學和 計算機圖形學中，叉積被用於求物體光照相關問題。

求解光照的核心在於求出物體表面 法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行矢量（或者不在同一直線的三個點），就可依靠叉積求得法線。  [2]