設兩向量分別為 α 和 β,
- 數量積
α • β = |α| |β| cosθ (θ 為向量 α 和 β 的夾角)
通過公式我們可以發現,兩個向量的數量積就是一個數量。
數量積又稱為點積或者內積。
ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
α • β = (a1i + a2j + a3k) • (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3
即兩向量的數量積之和等於它們對應坐標的乘積之和。
- 向量積
向量積是一個向量,通常表示為 α χ β ,
1. 它的模(即長度)為 |α χ β| = |α| |β| sinθ (θ 為向量 α 和 β 的夾角)
2. 方向垂直於向量 α 和 β,且 (α, β, α χ β) 構成右手系。
向量積又稱為叉積和外積。
ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
α χ β = (a1i + a2j + a3k) χ (b1i + b2j + b3k)
= (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
行列式表示為
即
- 混合積
向量α 與 β 的向量積,再與向量 γ 作數量積,其結果為一個數量,稱這個數量為
三向量的 α, β, γ 的混合積,記為 (α, β, γ), 即
(α, β, γ) = (α χ β) • γ
1. 三向量共面的充要條件為 (α, β, γ) = 0
2. (空間向量基本定理)任意給定空間中三個不共面向量 α, β, γ,則空間中任一
向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一線性表示,即存在唯一一組實數 x, y, z 使
ν = xα + yβ + zγ
ex: 空間向量運算
在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
γ = (c1, c2, c3)
即