向量的數量積，向量積，混合積

設兩向量分別為 α 和 β，

• 數量積

　　　　α • β = |α| |β| cosθ 　　（θ 為向量 α 和 β 的夾角）

　　　　通過公式我們可以發現，兩個向量的數量積就是一個數量。

　　　　數量積又稱為點積或者內積。

　　　　ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中，設 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

 　　　　　α • β = (a₁i + a₂j + a₃k) • (b₁i + b₂j + b₃k) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

　　　　　　即兩向量的數量積之和等於它們對應坐標的乘積之和。

 

• 向量積

　　　　向量積是一個向量，通常表示為 α χ β ，

　　　　1. 它的模(即長度)為 |α χ β| = |α| |β| sinθ 　　（θ 為向量 α 和 β 的夾角）

　　　　2. 方向垂直於向量 α 和 β，且 (α, β, α χ β) 構成右手系。

　　　　向量積又稱為叉積和外積。

 　　　　ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中，設 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

　　　　　　α χ β = (a₁i + a₂j + a₃k) χ (b₁i + b₂j + b₃k)

　　　　　　　　　= (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

　　　　　　行列式表示為

　　　　　　　　

　　　　　　即

　　　　　　　　

　　

• 混合積

　　　　向量α 與 β 的向量積，再與向量 γ 作數量積，其結果為一個數量，稱這個數量為

　　　　三向量的 α, β, γ 的混合積，記為 (α, β, γ), 即

　　　　　　(α, β, γ) = (α χ β) • γ

　　　　1. 三向量共面的充要條件為 (α, β, γ) = 0

　　　　2. （空間向量基本定理）任意給定空間中三個不共面向量 α, β, γ，則空間中任一

　　　　　　向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一線性表示，即存在唯一一組實數 x, y, z 使

　　　　　　　　ν = xα + yβ + zγ

 　　　 ex: 空間向量運算

　　　　　　在直角坐標系 {O; i, j, k} 中，設 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

　　　　γ = (c₁, c₂, c₃)

　　　　　　

　　　　　　即