向量的數量積,向量積,混合積


設兩向量分別為 αβ

  • 數量積

    α • β = |α| |β| cosθ   (θ 為向量 αβ 的夾角)

    通過公式我們可以發現,兩個向量的數量積就是一個數量

    數量積又稱為點積或者內積

    ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

      α • β = (a1i + a2j + a3k)  (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3

      即兩向量的數量積之和等於它們對應坐標的乘積之和。

 

  • 向量積

    向量積是一個向量,通常表示為 α χ β

    1. 它的(即長度)為 |α χ β| = |α| |β| sinθ   (θ 為向量 αβ 的夾角)

    2. 方向垂直於向量 αβ,且 (α, β, α χ β) 構成右手系。

    向量積又稱為叉積外積

     ex: 在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

      α χ β = (a1i + a2j + a3kχ (b1i + b2j + b3k)

         = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

      行列式表示為

        

      即

        

  

  • 混合積

    向量α β 向量積,再與向量 γ 數量積,其結果為一個數量,稱這個數量

    三向量的 α, β, γ 混合積,記為 (α, β, γ), 即

      (α, β, γ) = (α χ β) γ

    1. 三向量共面的充要條件為 (α, β, γ) = 0

    2. (空間向量基本定理)任意給定空間中三個不共面向量 α, β, γ,則空間中任一

      向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一線性表示,即存在唯一一組實數 x, y, z 使

        ν = xα + yβ + zγ

     ex: 空間向量運算

      在直角坐標系 {O; i, j, k} 中,設 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

    γ = (c1, c2, c3)

      

      即

      

    

    


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