1 向量點積
向量點積度量兩向量的相似度，可以分別從直角坐標與極坐標角度進行理解。
向量 
，
點積可被分解為兩個方向的乘積之和，如下圖：
通俗的說，假如 x 方向表示蘋果，y 方向表示橙子，
表示有 
個蘋果，
個橙子，對蘋果乘以 
，對橙子乘以 
，最終得到 
個水果；
從極坐標角度來看，表示一個方向上能量被增強了多少，如下圖：
不管從直角坐標角度還是從極坐標角度，都有以下結論：
1）當兩向量同向時，點積值最大；
2）當兩向量反向時，點積值最小；
3）當兩向量垂直式，點積為零；
以上分別從直角坐標與極坐標角度討論了兩向量的相似度，那么以上兩種表示得到的結果是一致的嗎？下面給出討論：
如上圖所示，由於向量 b 與向量 e 正交，有 
，可求解 
；
帶入向量 p 得 
，
，
，
因此，兩種表示得到相同的結果。
2 向量叉積
與向量點積相反，向量叉積度量兩向量的差異性，數值 
表示兩向量的差異性。
1）當兩向量同向時，數值 為零，兩向量差異為零；
2）當兩向量反向時，數值 為零，兩向量差異為零；
3）當兩向量垂直式，數值 最大，兩向量差異最大；
如兩向量的構成平行四邊形的面積等於 ，當兩向量正交時，構成平行四邊形面積最大。
以上討論中，情形 1）與 2）產生的同樣的結果，表明一個固定向量可以與兩個不同向量產生相同叉積，這兩個不同向量與固定向量的夾角為互補關系。
在點積情形中，不存在如此情況。
僅使用數值表示兩向量的差異性，其攜帶的信息量仍然不夠。
考慮X，Y，Z 軸上單位向量 (x,y,z)， x 與 y 的差異性為 1，x 與 z 的差異性也為 1，使用方向信息可區分兩種不同差異。
定義x 與 y 的差異方向為同時垂直於 x 與 y，即 z；同理，x 與 z 的差異方向同時垂直於 x 與 z；
使用右手系統，使用 xyzxyz 模式可給出坐標軸上向量叉積的方向:
xy -> z，yz ->x，zx -> y；
到此，兩向量叉積方向被定義同時垂直於兩向量，其數值表示兩向量的差異性；
由於任意向量可表示為基向量的線性組合，下面給出任意兩向量的叉積推導：
，
，
，
，
；
使用行列式可將向量叉積表示為：
。
參考資料 https://betterexplained.com/articles/vector-calculus-understanding-the-dot-product/
https://betterexplained.com/articles/cross-product/?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg