內積&外積&叉積&張量積

1.矩陣上標

（1）A^T

T是transpose轉置。

（2）A^-1

-1是inverse逆矩陣。

（3）A⁺

①廣義逆矩陣，是逆矩陣的推廣，奇異矩陣（行列式為0的方陣）和非方陣，沒有逆矩陣，但可以有偽逆矩陣。

②廣義逆定義：

　　復矩陣A_mxn，X_nxmdddd滿足四個Moore-Penrose方程中的全部或部分，稱X為A的廣義逆矩陣。

　　四個Moore-Penrose方程：1. AXA=A，2. XAX=X，3. (AX)^H=AX，4. (XA)^H=XA。

③15種廣義逆：滿足上述一個、兩個、三個、四個方程的廣義逆矩陣共有C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴=15種。

④記號：

　　若G滿足第i個方程的廣義逆矩陣，記G=A⁽ⁱ⁾。滿足第i,j個方程，記為G=A^(i,j)；滿足第i,j,k個方程，記為G=A^(i,j,k)。滿足四個方程，記為G=A^(1,2,3,4)=A⁺。

　　除了A⁺唯一，其余各類廣義逆均不唯一。用集合表示，A(i)∈集合A{i}，A(i,j)∈集合A{i,j}，A(i,j,k)∈集合A{i,j,k}。

⑤常見廣義逆：

　　A{1}：叫{1}逆，也叫做減號逆，記為A^-。

　　A{1,3}，A{1,4}，

　　A⁺=A^(1,2,3,4)：叫加號逆或pseudoinverse偽逆，A⁺很常用，很重要。

⑥A⁺性質

參考：https://www.jianshu.com/p/609fa0cce409

（4）A^*

*有歧義，兩個意思，一個是conjugate復共軛，另一個是伴隨矩陣（A^*=|A|·A^-1）。

復共軛似乎更常用，需要看語境區分。 

（5） A^†或 A^H

一直不明白的右上角那把劍，原來是是復數向量 共軛轉置 的意思，也稱Hermite轉置，有時候也被寫成H。

注意：劍 A^† 和A⁺不一樣！

2.正確定義

（1）向量內積

行向量點乘列向量，符號<a,b>。（默認向量都是列向量）

①實數向量內積（歐式空間）

<a,b> = a^T·b = |a| |b| cosθ = ∑ a_i b_i 

②復數向量內積

<a,b> = b^† · a = (b^*)^T · a = ∑(b_i ^*) a_i 

（2）向量外積

列向量點乘行向量，符號 ⊗，外積是一種特殊的Kronecker克羅內克積。

①實數向量外積

②復數向量外積

（一直不明白的右上角那把劍，原來是是復數向量 共軛轉置 的意思，也稱Hermite轉置，有時候也被寫成H。）

 （3）向量叉積

叉積（Cross product）又稱向量積（Vector product），矢積，叉乘，是對三維空間中的兩個向量的二元運算，符號。與點積不同，它的運算結果是向量。

（4）直積（張量積或Kronecker積）

 

 

 

3.錯誤定義（百度百科）  X

內積=點乘  

外積=叉乘

這告訴我們，還是不要輕信百度百科和各種博客。能wiki最好wiki吧【╮(╯▽╰)╭】

 

參考：

趙迪《矩陣理論教程》第2版。

感謝靠譜博客：https://blog.csdn.net/scythe666/article/details/79518162

https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product

 

在歐幾里得幾何中，兩個笛卡爾坐標向量的點積常稱為內積（德語：inneres Produkt、英語：Inner Product）

Inverse Matrix(逆矩陣)& Pseudoinverse Matrix