矢量的叉積和點積計算

• 標量（Scalar，標量是只有模沒有方向的量，即距離）。
• 矢量（Vector，也稱為向量，矢量是有模和方向但沒有位置的量，即方向加速度）。
• 點（點是沒有大小之分的位置）。

1.標量k和矢量v的乘除：

　　相乘：kv=(k*vx, k*vy, k*vz);

　　相除：v/k=(vx/k, vy/k, vz/k); 只有矢量可以被標量除，標量不能被矢量除，那樣是沒有意義的。

 

2.矢量a和標量b的加減：

　　相加：a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz);

　　相減：a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz);

 

3.矢量的模：

　　矢量的模是一個標量，可以理解為矢量在空間內的長度。

　　公式：|v|=√(vx²+vy²+vz²);

4.單位矢量（矢量歸一化）

　　單位矢量（即模為1的矢量），任何給定的非零矢量轉換為單位矢量的過程被稱為歸一化。

　　在矢量的頭上加一個 ^ 表示單位矢量。

　　公式：^v = v/|v|,v是任意非零矢量。

 

5.矢量的點積 dot(a,b)

　　點積的名稱來源於其符號：a·b。

　　點積的計算結果是一個模。

　　點積的計算方式有兩種：

　　　　公式一： a·b = ax*bx + ay*by + az*bz;

　　　　公式二： a·b = |a|*|b|*cosΘ; (可推出^a·^b = cosΘ).

　　點積有很多重要的性質：

　　　　性質一：點積可結合標量相乘。如：設k為標量，k(a·b）= a·(kb) = (ka).b;

　　　　性質二：點積可以結合矢量的加減法。如：a·(b+c) = a·b + a·c; a·(b-c) = a·b + a·-c;

　　　　性質三：矢量自己和自己的點積等於該矢量的模的平方。如：v·v = vxvx + vyvy + vzvz = |v|²；

　　　　性質四：兩個單位矢量的點積等於他們夾角的余弦值。如 ^a·^b = cosΘ；

　　　　性質五：利用性質四可以計算出夾角的度數（當度數為0~180之間）。如：Θ = arcos(^a·^b),其中arcos是反余弦操作。

 6.矢量的叉積 

　　叉積的名稱也來源於其符號：aXb。

　　與點積不同，叉積的結果是一個矢量。

　　公式一：aXb = (ax,ay,az)X(bx,by,bz) = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - byax);

　　公式二：|aXb| = |a||b|sinΘ;

　　【aXb≠bXa，即，叉積不滿足交換律；但它滿足反交換律 aXb = -(bXa)；不滿足結合律(aXb)Xc ≠ aX(bXc);】

　　

　　叉積最常見的用途是：

　　　　1）計算垂直於一個平面、三角形、多邊形的矢量。

　　　　2）判斷三角面片的朝向。