一、向量數量積用於計算向量夾角
中學階段學空間幾何時，知道用兩個向量a,b之間的數量積來計算向量之間的夾角。
這是因為三角形的余弦定理：
△ABC中角A、B、C對應的邊分別為a、b、c
則有cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
基於此余弦定理，我們進一步推導可得到向量數量積與向量之間夾角的關系，我們以平面上的向量a,b為例進行說明：
假設向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則邊長a滿足
，邊長b滿足
，邊長c滿足
，a，b又可寫為
，將這些代入余弦公式：
最后一步等式用到了
，這是平面向量數量積的定義，參考https://baike.baidu.com/item/平面向量數量積/22173525?fr=aladdin
這就是平面向量數量積用於求解向量夾角的出處，是從三角形余弦定理和向量數量積的定義來的。而百度百科或者中學教材里在給出向量數量積時，直接給出了如下定義：
已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積。
記作a·b。兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2。
顯然向量的數量積有這樣的定義是為了便於計算，已經隱含了|a||b|cosθ=a·b=x1·x2+y1·y2這樣的關系。
二、概念區分
數量積a·b，又稱點積，又稱內積；
向量積axb，又稱叉積，又稱外積；
其中，內積和外積是高等數學里的矩陣乘法中的概念，定義如下：
一個行向量乘以一個列向量稱作向量的內積，又叫作點積，結果是一個數；
一個列向量乘以一個行向量稱作向量的外積，外積是一種特殊的克羅內克積，結果是一個矩陣。
建議參考一下這篇文章：https://blog.csdn.net/carechere/article/details/78496752，用四種方式理解了矩陣A和矩陣B的乘法。
三、內積•歐氏空間
這部分為補充上述第二部分的，尤其是內積概念。而且這部分內容放在另外“線性代數知識點”里面更合適，不過放在這里倒也有好處，更能理解內積。
有了內積的實的線性空間稱為歐氏空間。
例1：在R2和R3中，初中階段學的向量的數量積就是一種內積。因為數量積的定義：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2(或|a||b|cosθ，但是不容易證)。而且滿足上述4條規則（此處省略證明）。由此，有了內積的平面和空間，稱為歐氏平面和歐氏空間。
例2：
這個例子說明同一個實線性空間，可以定義不同內積變成不同的歐氏空間。
例3：
例4：
定理：任何一個實數域上的有限維線性空間都可以定義適當的內積稱為歐氏空間。
證明：
性質：
上式中用到一個知識點，就是度量陣。
3.2向量的長度
定義：令
為向量α的長度或模，如果模為1，稱α為單位向量或標准向量。
定理：對於歐氏空間V中任意兩個向量α,β，一定有
，且
3.3向量的夾角
