作者：qang pan
鏈接：https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/28403912
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
什么是賦范線性空間、內積空間，度量空間，希爾伯特空間 ？
現代數學的一個特點就是以集合為研究對象，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同一個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須給集合賦予一些“結構”（從一些具體問題抽象出來的結構）。從數學的本質來看，最基本的集合有兩類：線性空間（有線性結構的集合）、度量空間（有度量結構的集合）。
對線性空間而言，主要研究集合的描述，直觀地說就是如何清楚地告訴地別人這個集合是什么樣子。為了描述清楚，就引入了基（相當於三維空間中的坐標系）的概念，所以對於一個線性空間來說，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在給定基下的坐標即可。但線性空間中的元素沒有“長度”（相當於三維空間中線段的長度），為了量化線性空間中的元素，所以又在線性空間引入特殊的“長度”，即范數。賦予了范數的線性空間即稱為賦犯線性空間。但賦范線性空間中兩個元素之間沒有角度的概念，為了解決該問題，所以在線性空間中又引入了內積的概念。因為有度量，所以可以在度量空間、賦范線性空間以及內積空間中引入極限，但抽象空間中的極限與實數上的極限有一個很大的不同就是，極限點可能不在原來給定的集合中，所以又引入了完備的概念，完備的內積空間就稱為Hilbert空間。這幾個空間之間的關系是：線性空間與度量空間是兩個不同的概念，沒有交集。賦范線性空間就是賦予了范數的線性空間，也是度量空間（具有線性結構的度量空間）內積空間是賦范線性空間希爾伯特空間就是完備的內積空間。