如何通俗理解 beta 分布
一、總結
一句話總結：
beta分布可以看作一個概率的概率分布，當你不知道一個東西的具體概率是多少時，它可以給出了所有概率出現的可能性大小。
二、如何通俗理解 beta 分布（轉）
轉自：如何通俗理解 beta 分布？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/30269898/answer/123261564
相信大家學過統計學的都對 正態分布 二項分布 均勻分布 等等很熟悉了，但是卻鮮少有人去介紹beta分布的。
用一句話來說，beta分布可以看作一個概率的概率分布，當你不知道一個東西的具體概率是多少時，它可以給出了所有概率出現的可能性大小。
舉一個簡單的例子，熟悉棒球運動的都知道有一個指標就是棒球擊球率(batting average)，就是用一個運動員擊中的球數除以擊球的總數，我們一般認為0.266是正常水平的擊球率，而如果擊球率高達0.3就被認為是非常優秀的。
現在有一個棒球運動員，我們希望能夠預測他在這一賽季中的棒球擊球率是多少。你可能就會直接計算棒球擊球率，用擊中的數除以擊球數，但是如果這個棒球運動員只打了一次，而且還命中了，那么他就擊球率就是100%了，這顯然是不合理的，因為根據棒球的歷史信息，我們知道這個擊球率應該是0.215到0.36之間才對啊。
對於這個問題，我們可以用一個二項分布表示（一系列成功或失敗），一個最好的方法來表示這些經驗（在統計中稱為先驗信息）就是用beta分布，這表示在我們沒有看到這個運動員打球之前，我們就有了一個大概的范圍。beta分布的定義域是(0,1)這就跟概率的范圍是一樣的。
接下來我們將這些先驗信息轉換為beta分布的參數，我們知道一個擊球率應該是平均0.27左右，而他的范圍是0.21到0.35，那么根據這個信息，我們可以取α=81,β=219
之所以取這兩個參數是因為：
- beta分布的均值是
- 從圖中可以看到這個分布主要落在了(0.2,0.35)間，這是從經驗中得出的合理的范圍。
在這個例子里，我們的x軸就表示各個擊球率的取值，x對應的y值就是這個擊球率所對應的概率。也就是說beta分布可以看作一個概率的概率分布。
那么有了先驗信息后，現在我們考慮一個運動員只打一次球，那么他現在的數據就是”1中;1擊”。這時候我們就可以更新我們的分布了，讓這個曲線做一些移動去適應我們的新信息。beta分布在數學上就給我們提供了這一性質，他與二項分布是共軛先驗的（Conjugate_prior）。所謂共軛先驗就是先驗分布是beta分布，而后驗分布同樣是beta分布。結果很簡單：
其中α0和β0是一開始的參數，在這里是81和219。所以在這一例子里，α增加了1(擊中了一次)。β沒有增加(沒有漏球)。這就是我們的新的beta分布Beta(81+1,219)，我們跟原來的比較一下：
可以看到這個分布其實沒多大變化，這是因為只打了1次球並不能說明什么問題。但是如果我們得到了更多的數據，假設一共打了300次，其中擊中了100次，200次沒擊中，那么這一新分布就是：
注意到這個曲線變得更加尖，並且平移到了一個右邊的位置，表示比平均水平要高。
一個有趣的事情是，根據這個新的beta分布，我們可以得出他的數學期望為：
，這一結果要比直接的估計要小 
。你可能已經意識到，我們事實上就是在這個運動員在擊球之前可以理解為他已經成功了81次，失敗了219次這樣一個先驗信息。
因此，對於一個我們不知道概率是什么，而又有一些合理的猜測時，beta分布能很好的作為一個表示概率的概率分布。
beta分布與二項分布的共軛先驗性質二項分布
二項分布即重復n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變，則這一系列試驗總稱為n重伯努利實驗，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布
在beta分布中，B函數是一個標准化函數，它只是為了使得這個分布的概率密度積分等於1才加上的。
貝葉斯估計
我們做貝葉斯估計的目的就是要在給定數據的情況下求出θ的值，所以我們的目的是求解如下后驗概率：
注意到因為P(data)與我們所需要估計的θ是獨立的，因此我們可以不考慮它。
我們稱P(data|θ)為似然函數，P(θ)為先驗分布
共軛先驗
現在我們有了二項分布的似然函數和beta分布，現在我們將beta分布代進貝葉斯估計中的P(θ)中，將二項分布的似然函數代入P(data|θ)中，可以得到：
我們設a′=a+z,b′=b+N−z
最后我們發現這個貝葉斯估計服從Beta(a’,b’)分布的，我們只要用B函數將它標准化就得到我們的后驗概率：
參考資料：
1.Understanding the beta distribution (using baseball statistics)
2.20 - Beta conjugate prior to Binomial and Bernoulli likelihoods
