如何通俗理解泊松分布？（轉）

一、總結

一句話總結：

泊松分布就是把時間段分細，用二次分布來計算每個時間段事情是否發生，然后求極限就會得到泊松分布的式子 P(N(t)=n) = (λt)^n*e^(-λt)/n!

 

 

二、如何通俗理解泊松分布？（轉）

轉自：如何通俗理解泊松分布？
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81114920

1 甜在心饅頭店

公司樓下有家饅頭店：

 

 

每天早上六點到十點營業，生意挺好，就是發愁一個事情，應該准備多少個饅頭才能既不浪費又能充分供應？

老板統計了一周每日賣出的饅頭（為了方便計算和講解，縮小了數據）：

 

 

均值為：

 

 

 

按道理講均值是不錯的選擇（參見如何理解最小二乘法？），但是如果每天准備5個饅頭的話，從統計表來看，至少有兩天不夠賣， 的時間不夠賣：

 

 

你“甜在心饅頭店”又不是小米，搞什么飢餓營銷啊？老板當然也知道這一點，就拿起紙筆來開始思考。

2 老板的思考

老板嘗試把營業時間抽象為一根線段，把這段時間用 來表示：

 

 

然后把周一的三個饅頭（“甜在心饅頭”，有褶子的饅頭）按照銷售時間放在線段上：

 

 

把 均分為四個時間段：

 

 

此時，在每一個時間段上，要不賣出了（一個）饅頭，要不沒有賣出：

 

 

在每個時間段，就有點像拋硬幣，要不是正面（賣出），要不是反面（沒有賣出）：

 

內賣出3個饅頭的概率，就和拋了4次硬幣（4個時間段），其中3次正面（賣出3個）的概率一樣了。

這樣的概率通過二項分布來計算就是：

 

 

但是，如果把周二的七個饅頭放在線段上，分成四段就不夠了：

 

 

從圖中看，每個時間段，有賣出3個的，有賣出2個的，有賣出1個的，就不再是單純的“賣出、沒賣出”了。不能套用二項分布了。

解決這個問題也很簡單，把 分為20個時間段，那么每個時間段就又變為了拋硬幣：

 

 

這樣， 內賣出7個饅頭的概率就是（相當於拋了20次硬幣，出現7次正面）：

 

 

為了保證在一個時間段內只會發生“賣出、沒賣出”，干脆把時間切成 份：

 

 

越細越好，用極限來表示：

 

 

更抽象一點， 時刻內賣出 個饅頭的概率為：

 

 

3 的計算

“那么”，老板用筆敲了敲桌子，“只剩下一個問題，概率 怎么求？”

在上面的假設下，問題已經被轉為了二項分布。二項分布的期望為：

 

 

那么：

 

 

4 泊松分布

有了 了之后，就有：

 

 

我們來算一下這個極限：

 

 

其中：

 

 

 

 

 

所以：

 

 

上面就是泊松分布的概率密度函數，也就是說，在 時間內賣出 個饅頭的概率為：

 

 

一般來說，我們會換一個符號，讓 ，所以：

 

 

這就是教科書中的泊松分布的概率密度函數。

5 饅頭店的問題的解決

老板依然蹙眉，不知道 啊？

沒關系，剛才不是計算了樣本均值：

 

 

可以用它來近似：

 

 

於是：

 

 

畫出概率密度函數的曲線就是：

 

 

可以看到，如果每天准備8個饅頭的話，那么足夠賣的概率就是把前8個的概率加起來：

 

 

這樣 的情況夠用，偶爾賣缺貨也有助於品牌形象。

老板算出一腦門的汗，“那就這么定了！”

6 二項分布與泊松分布

鑒於二項分布與泊松分布的關系，可以很自然的得到一個推論，當二項分布的 很小的時候，兩者比較接近：

 

 

7 總結

這個故事告訴我們，要努力學習啊，要不以后饅頭都沒得賣。

生活中還有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我們只知道物質衰變一半的時間期望是多少，但是因為不確定性原理，我們沒有辦法知道具體哪個原子會在什么時候衰變？所以可以用泊松分布來計算。

還有比如交通規划等等問題。