泊松分布 和 指數分布

一、先擺出泊松分布表達式：

\[P(x=k;\lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]

泊松分布的意義：

　　首先，泊松分布的描述對象是“離散隨機變量”;

　　泊松分布是描述特定時間或者空間中事件的分布情況。泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率。 泊松分布適合於描述單位時間(或空間)內隨機事件發生的次數。
　　

1.一本書里，印刷錯誤的字的個數：

　　其中參數λ由二項分布的期望np決定，λ=np，表示該時間(空間)段內的事件發生的頻率。這個例子中，表示一般情況下，書內(空間)的出錯的頻率(期望)，n代表所有的字數，p代表印刷錯誤的概率，k表示印刷錯的字數。剛好這個例子包含了，當n很大，p很小的時候，二項分布的極限是泊松分布。因為這個例子同樣可以用二項分布的角度來解釋：每印刷一個字，表示一次伯努利實驗（n代表所有的字數，p代表印刷錯誤的概率，k表示印刷錯的字數。

　　當n繼續變大，為連續變量的時候，二項分布的極限又成了正態分布（正態分布是所有分布趨於極限大樣本的分布）。

2.一段時間內的次品率；

3.某醫院平均每小時出生的嬰兒數；

4.某網站每分鍾的訪問次數；

　　注意這里的λ為一段時間內的期望，如果待研究的時間段變化了，λ也要跟着變。比如醫院平均每小時出生的嬰兒數的參數為λ，則“醫院平均每兩個小時出生的嬰兒數”的參數為2λ，則每兩個小時醫院出身的嬰兒個數為k的概率為：

\[P(x=k;\lambda) = \frac{(2\lambda)^k}{k!}e^{-2\lambda} \]

泊松分布的柱狀圖類似正太分布的形狀，在 k = λ 的時候概率最大。

二、指數分布

概率密度函數：

\[f(x) = \dfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x > 0 \]

分布函數：

\[P(X \le x) = F(x) = 1 - e^{-x/\theta}, x \ge 0 \]

其中θ>0為常數，則稱X服從參數θ的指數分布。

指數分布的意義：

　　首先，指數分布的描述對象是“連續型隨機變量”；

　　指數分布是泊松過程的事件間隔的分布：泊松分布表示的是事件發生的次數，“次數”這個是離散變量，所以泊松分布是離散隨機變量的分布；指數分布是兩件事情發生的平均間隔時間，“時間”是連續變量，所以指數分布是一種連續隨機變量的分布。

　　指數分布的期望為\(E(X)=\theta=1/\lambda\)，對，這里的λ的含義就是泊松分布中的λ。如果你平均每個小時接到2次電話(Θ=2)，那么你預期等待每一次電話的時間是半個小時(λ=1/Θ=0.5)。

指數分布的主要特點是“無記憶性”：\(P(T>s+t|T>t)=p(T>s)\)

即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等.（注意：指數分布的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產品損傷累積和老化這一過程。所以，指數分布不能作為機械零件功能參數的分布形式。）

指數分布的實例有：

　　1.旅客進機場的時間間隔;

　　2.網站訪問的時間間隔;

　　3.嬰兒出生的時間間隔。

一句話總結：

　　泊松分布是單位時間內獨立事件發生次數的概率分布，指數分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。注意，泊松分布和指數分布的前提是"獨立事件"，事件之間不能有關聯，否則就不能運用上面的公式。