一、泊松分布
日常生活中，大量事件是有固定頻率的。
某醫院平均每小時出生3個嬰兒
某公司平均每10分鍾接到1個電話
某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉
某網站平均每分鍾有2次訪問
它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？
有可能一下子出生6個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。
泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。
上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數關系，t 表示時間，n 表示數量，1小時內出生3個嬰兒的概率，就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。
接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發生。
接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。
泊松分布的圖形大概是下面的樣子。
可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然后向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生3個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。
泊松分布使用范圍
Poisson分布主要用於描述在單位時間(空間)中稀有事件的發生數. 即需滿足以下四個條件：
1、給定區域內的特定事件產生的次數，可以是根據時間，長度，面積來定義；
2、各段相等區域內的特定事件產生的概率是一樣的；
3、各區域內，事件發生的概率是相互獨立的；
4、當給定區域變得非常小時，兩次以上事件發生的概率趨向於0。
例如：
1、放射性物質在單位時間內的放射次數；
2、在單位容積充分搖勻的水中的細菌數；
3、野外單位空間中的某種昆蟲數等。
泊松分布的期望和方差
由泊松分布知E[N(t) − N(t0)] = D[N(t) − N(t0)] = λ(t − t0)
特別的，令t_0=0.由於假設N(0)=0,故可推知泊松過程的均值函數和方差函數分別為E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,
泊松過程的強度lambda （常數）等於單位長時間間隔內出現的質點數目的期望值。即對泊松分布有：E(X) = D(X) = λ
泊松分布的特征
1、泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。
2、λ是泊松分布所依賴的唯一參數。λ值愈小，分布愈偏倚，隨着λ的增大，分布趨於對稱。
3、當λ = 20時，分布泊松接近於正態分布；當λ = 50時，可以認為泊松分布呈正態分布。在實際工作中，當
時就可以用正態分布來近似地處理泊松分布的問題。
二、指數分布
指數分布是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬於指數分布。
嬰兒出生的時間間隔
來電的時間間隔
奶粉銷售的時間間隔
網站訪問的時間間隔
指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個嬰兒間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。
反過來，事件在時間 t 之內發生的概率（至少出生一個的概率），就是1減去上面的值。
接下來15分鍾，會有嬰兒出生的概率是52.76%。
接下來的15分鍾到30分鍾，會有嬰兒出生的概率是24.92%。
指數分布的圖形大概是下面的樣子。
可以看到，隨着間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時才出生的概率是0.25%，那么間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近於0？
指數分布的概率密度為：
式中：x是給定的時間；λ為單位時間事件發生的次數；e＝2.71828。
指數分布概率密度曲線如下圖：
指數分布具有以下特征：
（1）隨機變量X的取值范圍是從0到無窮；
（2）極大值在x＝0處，即f(x)＝λ；
（3）函數為右偏，且隨着x的增大，曲線穩步遞減；
（4）隨機變量的期望值和方差為µ＝1/λ，σ2＝1/λ2。
通過對概率密度函數的積分，就可以得到相應的概率，其表達式有兩種
P(X≥x)＝e-λx
P(X≤x)＝1－e-λx
例：某電視機生產廠生產的電視機平均10年出現大的故障，且故障發生的次數服從泊松分布。
問（1）該電視機使用15年后還沒有出現大故障的比例；（2）如果廠家想提供大故障免費維修的質量擔保，但不能超過全部產量的20%，試確定提供擔保的年數。
解：
（1）設X為電視機出現大故障的時間。已知µ＝10年，則λ＝1/µ＝0.1，於是，P(X≥x)＝e-λx＝e-0.1*15≈0.223。則15年后，沒有出現大故障的電視機約占22.3%。
（2）問題要求比例不超過20%，這是求X的右側概率面積，現在根據公式確定適當的X值。
| 電視機各年累計出現的故障比例 |
|
| 擔保年數X |
累計概率P(X≤x)＝1－e-λx |
| 1 |
0.095 |
| 2 |
0.181 |
| 3 |
0.259 |
從表中可以看到：擔保2年時，出現大故障的比例是18.1%，不超過20%。擔保3年時，出現大故障的比例為25.9%，已經超過20%。所以，廠家應以2年為擔保期。
泊松分布是二項式分布的細分，當n→∞，p非常小的時候。
