有一枚硬幣（不知道它是否公平），假如拋了三次，三次都是“花”：
能夠說明它兩面都是“花”嗎？
1 貝葉斯推斷
按照傳統的算法，拋了三次得到三次“花”，那么“花”的概率應該是：
但是拋三次實在太少了，完全有可能是運氣問題。我們應該怎么辦？
托馬斯·貝葉斯（1702－1761），18世紀英國數學家，1742年成為英國皇家學會會員。
貝葉斯認為在實驗之前，應根據不同的情況對硬幣有所假設。不同的假設會得到不同的推斷。
比如和滑不溜手的韋小寶玩。韋小寶可能拿出各種做過手腳的硬幣，讓我們猜不透，只能假設對硬幣一無所知。這種假設之下，我們就只能根據實驗結果來猜測。
因此，實驗結果是“扔三次，三次花”，傾向於認為韋小寶有可能作弊：
大俠陳近南用的可能是公平硬幣：
而憨壞的多隆，真的有可能用兩面“花”來和你玩：
各種假設稱為先驗分布，結合剛才“扔三次，三次花”的實驗數據，推斷出硬幣的后驗分布，這就是貝葉斯推斷：
這里補充一下，可能大家覺得再多拋幾次硬幣就可以了，何必弄什么貝葉斯推斷。不過現實生活中有一些事件不是能夠多“拋”幾次的，比如地震、彗星撞擊地球等等。這里只是借着硬幣來討論問題。
2 
分布
那么問題來了，“先驗分布”，“后驗分布”用數學怎么表示：
對於扔硬幣， 分布非常適合用來完成這個任務。
2.1 先驗分布
分布簡記為（這一節里面的所有細節會在后面給出）：
根據
參數的不同，形態各異：
這個特性非常適合用來做先驗分布。比如，在韋小寶面前，我們對硬幣一無所知。
貝葉斯說一無所知也就是意味着任何概率都是一樣的，都是有可能的，所以選用均勻分布（所謂的無信息先驗，可以參看這篇文章）：
正好就是均勻分布：
正直的陳近南，可能用的是公平硬幣，也就是說概率在0、1之間（0表示“字”，1表示“花”），
可以表示這樣的分布：
而憨壞的多隆，可能用了兩面花，也就是說概率可能集中到1附近，
可以表示這樣的分布：
也就是說可以用 分布來模擬各種先驗分布：
-
一無所知：
-
公平硬幣：
-
兩面花：
2.2 后驗分布
用 分布來模擬扔硬幣的先驗分布之后，通過貝葉斯推斷，得到的后驗分布依然是 分布：
具體到這里：
再具體到韋小寶的情況就是：
其中，用
來表示實驗數據，意思是3次花，0次字（
就是2次花，1次字）。
圖像上的變化就是：
可以看到，作弊的可能性還是比較大的。
陳近南的情況：
結合實驗數據之后，圖像的中心從0.5往0.6方向移動了，作弊可能性有所增加，不過總體來看應該還是公平硬幣的可能性大。
多隆的情況：
更向1集中，作弊的可能性非常高。
3 代數細節
3.1 貝葉斯推斷
貝葉斯推斷：
的應用到二項式分布的數學細節如下。假設實驗數據
服從二項分布：
上面的式子根據貝葉斯定理（離散貝葉斯可以參看怎樣用非數學語言講解貝葉斯定理（Bayes theorem）？，連續貝葉斯可以參看這里）可以表示為：
其中
為“花”的次數。分母與實驗數據無關，可以視作常數：
因此，寫成下面這樣更容易看清楚重點（其中
表示兩者之間成比例）：
3.2 分布
長成這個樣子：
其中，
為 函數。
隨着 的變換， 分布形態各異：
3.3 共軛先驗
對於二項式分布，用 分布作為先驗分布，通過貝葉斯推斷之后，后驗分布依然是 分布：
這種特性稱為共軛先驗。
並且：
關於這點的證明請參看這里，需要科學上網。
文章最新版本在（有可能會有后續更新）：如何理解貝葉斯推斷，beta分布？