時序預測 04 - Prophet的拓展傅里葉級數與《傅里葉分析之掐死教程》 - 數學公式（挖個坑，待填）

本文轉載自查看原文 2020-10-09 23:30 547 ## 時序算法/ ### 數學基礎

引用

如何理解傅立葉級數公式？https://www.matongxue.com/madocs/619 知乎：馬同學
如何通俗地理解傅立葉變換？https://www.matongxue.com/madocs/473 知乎：馬同學
傅里葉分析之掐死教程（完整版） https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 知乎：Heinrich
百科頻域 https://baike.baidu.com/item/頻域
B站的李永樂老師的賬號下也有相關教學視頻內容，十分生動形象，可以參考

Prophet與傅里葉的關聯、參數影響

01 在Prophet對象中添加季節性組件的時候

翻譯一下:

Increasing the number of Fourier components allows the seasonality to
        change more quickly (at risk of overfitting). Default values for yearly
        and weekly seasonalities are 10 and 3 respectively.

內容為:

增加傅里葉分量的數量允許季節性變換得更快（有過擬合的風險）。
年度和每周季節性的默認值分別為10和3。

個人的附加解釋: 增加傅里葉分量,可以增加更多的傅里葉函數進行擬合,擬合的效果會得到增加.

后續，發現更多的關聯再進行補充。

傅里葉分析之掐死教程（完整版）等速讀筆記

知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
ps 文章的目的是：要讓讀者在不看任何數學公式的情況下理解傅里葉分析。（所以缺少數學證明）

零、什么是傅里葉變換

傅里葉變換，表示可以將滿足一定條件的某個函數表示為正余弦函數（和、或）、或者它們積分的線性組合。

一、什么是時域、頻域

時域： 以時間為參考來觀察動態世界的方法，我們稱之為時域分析；（旋轉與傅立葉級數）

頻域： 頻域圖顯示了在一個頻率范圍內多個給定頻率的最大信號量在平面上的投影圖像，簡言之————多個頻率的單位時間內的信號量值的投影集合 (線性代數與傅立葉級數)

對於：

我們用(n,c_n)來描點作圖，就得到頻譜圖。

二、傅里葉級數(Fourier Series)的頻譜

python 代碼簡單打印:

    x = np.linspace(0,10,1000)
    y = 4*np.sin(x)/math.pi +  4*np.sin(3*x)/math.pi/3 \
        +  4*np.sin(5*x)/math.pi/5
    print('------------')
    plt.figure()
    plt.plot(x,y)
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 顯示中文標簽
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.title('傅里葉變換波形')
    plt.show()

效果:

小結: 經過多次疊加, 正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的運動;所以頻域的一個基本單元就是可以理解為一個始終在旋轉的圓(多個圓之間可以互相嵌套~)

三、傅里葉級數（Fourier Series）的相位譜

(當信號波形以周期的方式變化，波形循環一周即為360° ——2*Pi)
時間差: 距離頻率軸最近的波峰在x軸上的投影值
相位差: 將時間差除周期再乘 2Pi
正弦函數的相位: 即將離頻率軸最近的波峰向左平移到波峰和頻率軸重合的距離

四、傅里葉變換（Fourier Transformation）

傅里葉級數 的本質是將一個周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦函數波.

傅里葉變換 實際上就是對一個周期無限大的函數使用傅里葉級數代表的函數來擬合

離散譜（相加）轉換為連續譜（積分）

圖略

五. 歐拉公式 (具體推導公式見筆記本)

虛數i: ** 這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根**
歐拉公式

當x等於Pi時, 可以推出

這個公式關鍵的作用，是將正弦波統一成了簡單的指數形式,圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨着時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨着時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。
如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的余弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。