一 傅里葉級數
1 泰勒級數與歐拉公式
f(x)在定義域內存在連續N階導數，則f(x)可以寫成泰勒級數，如：
1） 
2）
3) 
觀察以上級數，指數函數與三角函數可能存在一定關系，如ex=asin(x)+bcos(x)，設函數為eix（其中i為虛數），其傅里葉級數為：
，則可推出如下關系：eix=cosx + isinx （歐拉公式）。
2 在（-π,π）區間上的傅里葉級數
假設f(x)為在(-π,π)上的周期函數，且相信該函數可寫成三角函數和
,
使用三角函數和角公式可展開為：
，
在該和函數中，如果可以求出系數a與b, 則完成了傅里葉級數分解。由於未知參數個數遠多於方程個數，無法使用代數方法得出a與b的值，這里需要利用積分來 完成系數求解。
由於三角函數的正交性（類比向量正交）可以簡化運算結果，這里首先給出三角函數正交性結論：
1）
2）
3）
對左右同時在（-π,π）區間上積分，可得
；
對左右同時乘以cos(kx)再積分，可得
；
左右同時乘以sin(kx)再積分，可得
。
3 在任意周期上的傅里葉級數
觀察發現，f(x)以2π為周期，其右邊和式部分的周期序列為2π, π, 0.5π, 0.25π...；當f(x)以2a為周期時， 其右邊和式部分周期序列應該為2a, a, 0.5a, 0.25a...， 則f(x)可分解為 
；對（-a, a）區間平移形成（-a + c, a + c）后仍然為一周期函數，且同樣滿足三角函數正交性相關性質， 故對以（-a + c, a + c）為周期的函數f(x), 有如下結論：
1）
2）
3）
4 ak與bk是否收斂？
f(x)是一個有界函數，其傅里葉系數ak, bk是無窮序列，當k趨近無窮大時，ak與bk是否趨近0？當k趨近無窮大時，三角函數周期趨近於無窮小， 在三角函數的一個周期內， f(x)函數值近似為一常數，則
；同理，bk亦如此。故ak與bk是否收斂。
5 傅里葉級數的指數形式
根據歐拉公式eix=cosx + isinx, e-ix=cosx - isinx, 可得 
，將其帶人中整理得：
（在該式中，k 為正整數），觀察發現可將指數項合並，同時k擴展為正負整數集（包括0），整理如下：
，系數ck與系數ak, bk關系如下：
1）當k=0時， c0 = a0；
2）當k>0時， ck = (ak - ibk) / 2；
3）當k<0時， ck = (a-k + ib-k) / 2；
當將周期函數寫成時， 應該如何直接求取ck系數呢， 這里同樣需要利用函數的正交性，具體如下：
1）
；
2）對左右同時乘以
並在（-a, a）區間上積分得：
。
二 傅里葉變換
周期函數f(x)的傅里葉級數指數形式為：
，
其中系數ck反應了函數f(x)在頻率為k時（定義周期為2a時頻率為1）的強度，當周期a趨近與無窮大時，可以將寫成積分形式（積分的黎曼和表示），這就引入了連續變量下的傅里葉變換，推導如下：
=>
，其中方括號部分為ck；
=>
，由於a趨近無窮大，π/a趨近無窮小，令dλ=π/a, λ=kπ/a
=>
，外面的求和可以改寫積分形式，如下：
=>
，其中方括號內積分為對原函數進行傅里葉變換，外面積分為相應的傅里葉逆變換。
根據以上推導，連續函數f(x)的傅里葉變換總結如下：
（傅里葉變換） 
（傅里葉逆變換）
以上推導中，使用dλ=π/a, λ=kπ/a進行變換，若改用dλ=1/2a, λ=k/2a，則有如下推導：
=>
,
=>
(傅里葉變換）
（傅里葉逆變換）
三 離散傅里葉變換
1 關於沖激響應，卷積以及采樣定理的一般結論
1）沖擊串
的傅里葉變換為
，周期為T的沖激串的傅里葉變換是周期為1/T的沖激串；
2）信號分解表達式為：
，
，若單位沖擊響應線性時不變，則響應函數定義的卷積函數，如下：
，
；
3）對卷積進行傅里葉變換，等價於分別對信號與響應函數進行傅里葉變換后的乘積；對信號與響應函數的乘積的傅里葉變換，等價於分別對信號與響應函數進行傅里葉變換后的卷積：
，
。
4）
，
，采樣后函數的傅里葉變換是原函數傅里葉變換的一個無限拷貝，則只要取樣周期T < 1 / (Umax * 2), 則取樣函數可以完全恢復原函數；
2 離散傅里葉變換
（對采樣函數進行傅里葉變換）
（將采樣函數與原函數關聯）
，根據采樣定理得：
。
假設在周期1/T中取M個等間距樣本，則有
，
（離散傅里葉變換），
（離散傅里葉反變換）。